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时间:2020-03-21
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1、第二章度量空间§2.1度量空间的进一步例子教学内容(或课题):目的要求:在复习第二章度量空间基本概念前提下,要求进-步常握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.教学过程:一复习度量空间的概念设X是个集合,若对于Vx,yeX,都有唯一确定的实数〃(兀y)与之对应,且满足1°d(x,y)AO,〃(x,y)二Oo兀=y;2°〃(兀,y)2、(儿,儿,…,儿),规定距离为〃(忑y)二£(兀一”『•/=1丿C[a,b]空间C[a,b]表闭区间[a,Z?]JL实值(或复值)连续函数的全体.对C[a,b]中任意两点兀』,定义d(圮y)二maxx(r)-y(r).ip(i"v+oo)空间记/"Hz&jtKLifHrve.*=1‘设x={x*}:T,y={yk}Z=ie>定义d(*,y)=(£3、x厂片二度量空间的进一步例子例1设X是任意非空集合,对于Vx,yeX,令1,当兀工y;0,当兀=y容易验证1°d(兀,y)»0,d(x,y)=0^>x=y;2°d(%,y)Vd(兀,z)+〃(4、y,z)对0兀,X都成立.称(X,d)为离散的度量空间.由此可见,在任何非空的集合上总可以定义距离,使它成为度量空间.例2序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体,对Vx={xk};=1,尸{儿忆,心-儿1+心一儿显然右边的级数总是收敛的•易知r/(x,y)>0,且J(x,y)=0o兀=y.即d^y)满足条件1°.对Vd,Z?gC,先证1+”+b实因令心乔(0「<+oo),则因为广(卜吋>0,所6/+/?5、1+a+以函数兀)=士在[0,+妨上单调递增•又因为a+b6、I+彳+1/?7、I8、+a+问I+问+1/?9、I+ci1+1/?10、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿6/+/?11、1+a+以函数兀)=士在[0,+妨上单调递增•又因为a+b12、I+彳+1/?13、I+a+问I+问+1/?14、I+ci1+1/?15、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿由此推得2°d(x16、.y)0,且r/(x,y)=O<^>Vrw4成立兀(()=)心),即〃(x,y)满足条件1°•又SeA,有卜&)-)心M卜("-z("+17、z(r)-y(t)18、x(r)-z("+sup19、z(f)-y(”teAteA所以sup20、x(r)-y(f)21、x(r)-z(r)22、+sup23、z(r)-y(24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
2、(儿,儿,…,儿),规定距离为〃(忑y)二£(兀一”『•/=1丿C[a,b]空间C[a,b]表闭区间[a,Z?]JL实值(或复值)连续函数的全体.对C[a,b]中任意两点兀』,定义d(圮y)二maxx(r)-y(r).ip(i"v+oo)空间记/"Hz&jtKLifHrve.*=1‘设x={x*}:T,y={yk}Z=ie>定义d(*,y)=(£
3、x厂片二度量空间的进一步例子例1设X是任意非空集合,对于Vx,yeX,令1,当兀工y;0,当兀=y容易验证1°d(兀,y)»0,d(x,y)=0^>x=y;2°d(%,y)Vd(兀,z)+〃(
4、y,z)对0兀,X都成立.称(X,d)为离散的度量空间.由此可见,在任何非空的集合上总可以定义距离,使它成为度量空间.例2序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体,对Vx={xk};=1,尸{儿忆,心-儿1+心一儿显然右边的级数总是收敛的•易知r/(x,y)>0,且J(x,y)=0o兀=y.即d^y)满足条件1°.对Vd,Z?gC,先证1+”+b实因令心乔(0「<+oo),则因为广(卜吋>0,所6/+/?
5、1+a+以函数兀)=士在[0,+妨上单调递增•又因为a+b6、I+彳+1/?7、I8、+a+问I+问+1/?9、I+ci1+1/?10、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿6/+/?11、1+a+以函数兀)=士在[0,+妨上单调递增•又因为a+b12、I+彳+1/?13、I+a+问I+问+1/?14、I+ci1+1/?15、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿由此推得2°d(x16、.y)0,且r/(x,y)=O<^>Vrw4成立兀(()=)心),即〃(x,y)满足条件1°•又SeA,有卜&)-)心M卜("-z("+17、z(r)-y(t)18、x(r)-z("+sup19、z(f)-y(”teAteA所以sup20、x(r)-y(f)21、x(r)-z(r)22、+sup23、z(r)-y(24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
6、I+彳+1/?
7、I
8、+a+问I+问+1/?
9、I+ci1+1/?
10、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿6/+/?
11、1+a+以函数兀)=士在[0,+妨上单调递增•又因为a+b12、I+彳+1/?13、I+a+问I+问+1/?14、I+ci1+1/?15、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿由此推得2°d(x16、.y)0,且r/(x,y)=O<^>Vrw4成立兀(()=)心),即〃(x,y)满足条件1°•又SeA,有卜&)-)心M卜("-z("+17、z(r)-y(t)18、x(r)-z("+sup19、z(f)-y(”teAteA所以sup20、x(r)-y(f)21、x(r)-z(r)22、+sup23、z(r)-y(24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
12、I+彳+1/?
13、I+a+问I+问+1/?
14、I+ci1+1/?
15、再令z={◎}:]‘a=xk-zk,”=s-儿’则a+b=xk-yk.由上述已证的不等式,得心一儿vXk-j+J—儿1+耳一儿一1+心一s1+S-儿由此推得2°d(x
16、.y)0,且r/(x,y)=O<^>Vrw4成立兀(()=)心),即〃(x,y)满足条件1°•又SeA,有卜&)-)心M卜("-z("+
17、z(r)-y(t)18、x(r)-z("+sup19、z(f)-y(”teAteA所以sup20、x(r)-y(f)21、x(r)-z(r)22、+sup23、z(r)-y(24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
18、x(r)-z("+sup
19、z(f)-y(”teAteA所以sup
20、x(r)-y(f)21、x(r)-z(r)22、+sup23、z(r)-y(24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
21、x(r)-z(r)
22、+sup
23、z(r)-y(
24、".即d(兀,y)满足条teAteAteA件2°.特别当A=[a,b]时,B⑷二.例4可测函数空间M(X)设M(X)为X上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体,m为Lebesgue测度,若m(X)0且d(/,g)=0of=g,即d(f,g)满足条件1°・其次(参考例2)dm<韶r+i韶都成立.即)满足条件2°•故M(X)按上述距离〃(.f,g)成为度量空间.作业P
25、205.2.4.作业提示2.与例2处理方法类似.4•利用亠当^>0时的递增性.1+X§2.2(1)度量空间中的极限教学内容(或课题):目的要求:掌握一般的度量空间屮的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念,认识具体空间小点列收敛的具体意义.教学过程:设(X,〃)为度量空间,〃是距离,定义B(Xo,g)={xwXd{x,xQ)1仿§2.2-§2.3,设E是度量空间(X,d)屮的一•个
26、子集,兀。是厂卞一点若存在X。的某一邻域U(无°),s.t.(/(x0)cz£,贝I淋X。为£*的内点.若X。是CE的内点,则称兀。为E的外点.若V(/(x0)内既有E的点又有非E的点,则称心
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