二维随机变量及条件分布.ppt

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1、概率论与数理统计第五讲二维随机变量第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量3.2边缘分布3.3条件分布3.4相互独立的随机变量3.5两个随机变量的函数的分布2图示3.1二维随机变量3一、多维随机变量1.定义将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量(X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)——Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律4实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机

2、变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明5几何意义：分布函数F(x0,y0)表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=P{Xx,Yy}为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。二.联合分布函数6对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1

3、)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)7分布函数F(x,y)具有如下性质：且(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1

4、机变量(X,Y)的分布函数。9例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P{0

5、pij...........................联合分布律的性质(1)pij0,i,j＝1,2,…；(2)x1x2xi二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:12例2袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律.(2)求概率解(1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为0,1,2.(X,Y)的分布律为13分布律也可写成以下表格的形式.XY01201/72/71/2112/74/21021/210014(2)15四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二

6、维随机变量(X,Y)，若存在一个非负函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R2162、联合密度f(x,y)的性质(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。17(4)对于任意平面区域GR2,(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有此外，f(x,y)还有下述性质18求：(1)常数A；(2)F(1,1)

7、；(3)(X,Y)落在三角形区域D:x0,y0,2x+3y6内的概率。例3.设解(1)由归一性19(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6内的概率。解203.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布*若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。易见，若(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布,对D内任意区域G,有21例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y<2X}；(3)求F(0.5,0.