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时间:2020-03-19
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1、趣味学习奥数:魔方动作解密 作者:北大校区奥数老师刘姝玲 现在中小学最流行的动脑游戏要算是魔方了,现在魔方的玩法也是多种多样,很多孩子想学,那么我们一起来开动脑筋吧 魔方有多少种可以达到的状态?答案是43252003274489856000约4000亿亿。 算法:8个角方块排列在8个位置,12个棱方块排列在12个位置,共有8!×12!种。又每个棱方块有2个朝向,每个角方块有3个朝向,共3^8×2^12种。因此魔方的状态数是8!×12!×3^8×2^12=519024039293878272000种,51902亿亿以上。 但在20个方块中,18个位置确定,另外2个
2、位置也就确定了。因此要去掉因子2!。在8个角方块中,7个朝向确定,第8个朝向也就确定了;在12个棱方块中,11个朝向确定,第12个朝向也就确定了。这样要再去掉3×2因子,实际是上面数的1/12,即总数8!×12!×3^7×2^11/2=43252003274489856000. 从另一个角度考虑上面的除数12.如果我们确定了6种颜色,每种颜色涂在魔方的1个表面上的9个小方块上。然后然后我们拆开魔方,再打乱了重新拼装起来,那么并不是所得到的每个魔方都能还原为初始状态。具体说,有519024039293878272000种拼法,可以分为12类,每类4325200327448985
3、6000种。同类里任何两个状态可以相互转换,而不同类间不能转换。 魔方动作的群论表示举例 面对右面(r面),看到右面一层如下左图,转动Y3后如右图,就可得出各块的变动。 类似分析Z3, 二者复合为 其中对角方块,右上角的正号表示此块顺时针转2π/3,负号表示反时针转。对棱方块表示有一个方向的翻转。上面分析说明,经过Y3,Z3两个转动,上右前角块回到原地,但顺时针转了2π/3,还有5个角方块做了一个轮换,各反时针转了2π/3,或说顺时针转了4π/3,7个棱方块做了一个轮换。 这样,可以看出, (1)如果把动作Y3*Z3连续做3次,那么上右前角方块会回到
4、原来位置,且转了6π/3,即没有转动。 (2)如果把动作Y3*Z3连续做5次,那5个角方块都会回到原来位置,但都转了10π/3,或4π/3,即反时针转2π/3. (3)如果把动作Y3*Z3连续做7次,那7个棱方块都会回到原来位置,且没有转动。 我们用魔方电脑游戏可以轻易的验证这些结论。 用这种方法,我们只要给出9个基本动作X1,X2,X3,Y1,Y2,Y3,Z1,Z2,Z3,就可以求出它们的逆动作X1',X2',X3',Y1',Y2',Y3',Z1',Z2',Z3',在通过计算求出任何若干次动作的结果。我们已经不需要具体的魔方,只要由计算就可以表现魔方的转动。 反过来
5、,如果知道魔方的状态,能否找到复原的方法?也就是把现在状态分解为基本动作的复合,这是个计算问题,相当于把一个矩阵分解为某些特定矩阵的积。如果能解决这个问题并很快给出答案,就完全解决了魔方的复原问题。 解决魔方的记录 利用群论可以给出魔方解法。理论上,解决魔方的步数可能最多只需要22或23步。实际上,英国一位魔方大师利用群论求出的解法最多只要52步。100步以下就是很好的解法。一般人玩,恢复魔方需要数百步。 2005年2月2日的世界魔方比赛中,ShotaroMakisnmi(日本)夺得冠军,成绩13.27秒;LeyanLo(美国)和FrankMorris(美国)并列第二名,
6、时间同为15秒;ChunHeiWong(中国香港)第四名,18.48秒。
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