正余弦定理知识点总结及题型分析.doc

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1、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理：其中是三角形外接圆半径.a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（二）余弦定理：由此可得：注：＞A是钝角；=A是直角；＜A是锐角；（三）三角形面积公式：（1）题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理例1、在中，已知求例2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答（1）（2）（3）（4）-7-例3．（1）在中，已知，则A=；

2、（2）若△ABC的周长等于20，面积是，60°，则边=（3）、已知锐角三角形的边长分别为2、3、，则的取值范围是=（4）在△ABC中，已知，则=题型二：判断三角形的形状例4．（1）在中，若试判断的形状。（2）在中，若试判断的形状。例5．（1）在中，已知，且，判断三角形的形状；（2）在中，且，判断其形状；例、已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是（）（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.题型三：三角形的面积的问题例6、（1）已知中，，,求、、及外接圆的半径。（2）在△中，已知．（

3、Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，△的面积是，求．-7-题型四、正余弦定理的综合应用1、在中，角的对边分别为，.k.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积2、设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若的面积，求的周长．高考题一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1(2005年全国高考江苏卷)中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．例2(2005年全国高考湖北卷)在Δ

4、ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．-7-二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3(2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4(2005年全国高考上海卷)在中，若，，，则的面积S＝_________四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．例6、（06全国卷I）的内角A、B、

5、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A．B．C．D．五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题图1ABCD例7如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。-7-1。解：∵，∴由正弦定理∴，，。例1.分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．解：由正弦定理得

6、：，得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，D例2.解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，-7-例3.解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典

7、型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．例4.分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB•ACsinA即可解决．解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．∴S＝AB•ACsinA＝．∴AB•AC•sinA＝AC•h，得h＝AB•sinA＝，故选(A)．例5.分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而2、【答案】由题意可知：，从而，又因

8、为所以，所以一定是等腰三角形选C例6解：中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，-7-=，选B.例7.分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过