数学教学中如何培养学生的抽象能力.doc

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1、数学教学中如何培养学生的抽象能力数学高度的抽象性，严密的逻辑性，广泛的运用性，知识的连续性，方法的抽象性，概念、公式、运算的符号化等，使学生进入高中或大学后，对数学的学习普遍感到越来越难学，造成这一现象的主要因素是数学高度的抽象性。因此，在数学教学中培养好学生的抽象能力，是排除学生理解障碍、提高教学质量的关键环节。本文结合教学实践，从三个方面论述了数学教学中如何培养学生的抽象能力。数学教学学生抽象能力恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”数学，为了在比较纯粹的状况下研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，只抽象出空间形式和数量关系进行研

2、究，这就决定了数学的主要特征是抽象性。数学的抽象性是经过一系列阶段形成的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从最原始的概念点、线、面、集合等，到三维空间立体图形、向量等较抽象的概念，再到像微积分、泛函，带有运算的集合（群、环、域），拓扑结构——群（以满足一定条件的集合为“元素”）等更抽象的概念；空间从三维欧式空间到n维、无穷维线性空间等，整个现代数学是一座由一系列抽象的概念和结构建成的大厦。使学生进入高中或大学后普遍感到数学越来越难学的原因很多，如数学的准确性（就是它严密的逻辑性），广泛的运用性，知识的连续性，以及其他一些非智力因素等，笔者认为，造成上述现象的主要原因是

3、数学概念、命题、公式和方法的抽象性。在初中、高中数学成绩优秀的学生进入高中、大学后有的怎么就不优秀了？难道是高中教师没有初中教师教的好，大学教师又不如高中教师教的好？显然，实际原因并非完全如此（如在中考、高考压力下，一些不喜欢数学的学生也会考得较好成绩），“罪魁祸首”是数学的抽象性，它使我们在数学的学习中不断地被淘汰，事实就是这么残酷，以致造成一个奇特的现象：绝大部分的数学知识装在极少数人的脑子里。因此，培养好学生的抽象能力，应该成为我们日常数学教学中的基本任务，这是培养学生其他能力的重要基础，也是提高学生考试成绩的有效途径。所谓抽象能力，就是从许多事物中，舍弃个别的，非本质的属性，

4、抽象出共同的本质属性的能力。数学的抽象性表现为它高度的概括性，抽象和概括是相互联系，不可分割的。下面从三个方面对培养学生的抽象能力谈点陋见，仅供参考。一、在数学概念的教学中，培养学生的抽象能力数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，是科学抽象的结果，正确理解数学概念是学好数学知识的前提。在初等数学里，一般都是通过实例抽象概括出数学概念，再以定义形式表达。在这个过程中，教师应充分运用实例，引导学生通过观察、分析、类比，抽象概括出共同的本质属性，再学会用语言或数学符号表达出来，形成概念，然后又回到实例，再做进一步抽象。教师的善于举例是很重要的，教材上的例子一般都

5、是很典型的，但教师还应根据教学的需要，加以取舍或补充，另外，要引导学生学会逐步抽象。例如，映射是一个很重要也较抽象的数学概念（现在一些高职高专的数学教材里砍去了这部分内容，对进一步学习函数和一些高等数学知识是不利的），老版本教材上是先回顾初中接触过的一些对应实例，接着又举了三个实例：①，②，③，笔者认为有必要再补充一个例子（如④），教师可留给学生一定时间，让学生观察、比较它们的不同点和共同点，引导学生抽象概括出映射的定义。然后，启发学生归纳对应种类：②是“一对一对应”，①是“多对一对应”，③是“一对多对应”，④不是对应。前两种对应都是映射，也叫单值对应，“一对多对应”不是映射，叫

6、多值对应。接着再引导学生观察映射的区别，又归纳出映射的种类：单映射（简称单射），满映射（简称满射），既是单射又是满射即称一一映射，只有一一映射才有逆映射（逆映射是b到a的一一映射）。回顾初中学过函数的描述性定义可知，过去学的函数是一种特殊映射：非空数集合a到非空数集合b的映射。接着进一步抽象概括出函数的一般定义：设a、b是两个非空集合，则从a到b的映射f：a？b（f是对应法则）叫做a到b的函数。教师还可指出，一对多的对应，即一个x值有几个y值与之对应，据函数的定义不是函数，但为了方便，我们约定，把这种情况称之为y是x的多值函数，如，反三角函数y=arcsinx是多值函数。最后，教师不

7、妨顺便提一句，近20年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念——“关系”，一扫原来定义中关于“对应”含义存在的模糊性，而使函数概念更为准确、正确，应用的范围更为广泛了。这样教学对学生深刻理解函数、反函数的概念，进一步学习其它高等数学知识和培养学生抽象能力都是有利的。