湘潭大学线性代数课件.ppt

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1、第二节线性变换1湘潭大学数学与计算科学学院王文强一、映射1、映射的概念2湘潭大学数学与计算科学学院王文强3湘潭大学数学与计算科学学院王文强4湘潭大学数学与计算科学学院王文强映射又称为算子。它还有以下惯用名称：泛函、变换、函数等。5湘潭大学数学与计算科学学院王文强2、逆映射与复合映射6湘潭大学数学与计算科学学院王文强构成复合映射的条件：7湘潭大学数学与计算科学学院王文强线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．二、线性变换的概念8湘潭大学数学与计算科学学院王文强说明9湘潭大学数学与计算科学学院王文强

2、10湘潭大学数学与计算科学学院王文强11湘潭大学数学与计算科学学院王文强12湘潭大学数学与计算科学学院王文强13湘潭大学数学与计算科学学院王文强14湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明设则有例３定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间，在这个空间中变换是一个线性变换.15湘潭大学数学与计算科学学院王文强故命题得证.证明则有设例４线性空间中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换．所以恒等变换是线性变换．16湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明设则有所以零变换是线性变换．例５线性空间中的零变换：　　　是线性变换

3、．17湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明证毕.例６在中定义变换则不是的一个线性变换．18湘潭大学数学与计算科学学院王文强三、线性变换的性质19湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明从而由于由上述证明知它对中的线线性运算封闭，故它是的子空间．20湘潭大学数学与计算科学学院王文强证明则则21湘潭大学数学与计算科学学院王文强例7T是线性空间V的线性变换，则是V的子空间，称为T的像空间．T(V)的维数称为线性变换T的秩22湘潭大学数学与计算科学学院王文强23湘潭大学数学与计算科学学院王文强24湘潭大学数学与计算科学学院王文强

4、四、线性变换的矩阵表示式25湘潭大学数学与计算科学学院王文强26湘潭大学数学与计算科学学院王文强27湘潭大学数学与计算科学学院王文强28湘潭大学数学与计算科学学院王文强五、线性变换在给定基下的矩阵定义１　设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象为29湘潭大学数学与计算科学学院王文强其中上式可表示为那末，就称为线性变换在基下的矩阵．30湘潭大学数学与计算科学学院王文强31湘潭大学数学与计算科学学院王文强32湘潭大学数学与计算科学学院王文强33湘潭大学数学与计算科学学院王文强结论34湘潭大学数学与计算

5、科学学院王文强35湘潭大学数学与计算科学学院王文强注意:线性空间的基改变时，线性变换的矩阵也会变化，36湘潭大学数学与计算科学学院王文强37湘潭大学数学与计算科学学院王文强38湘潭大学数学与计算科学学院王文强39湘潭大学数学与计算科学学院王文强40湘潭大学数学与计算科学学院王文强41湘潭大学数学与计算科学学院王文强此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．42湘潭大学数学与计算科学学院王文强同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？六、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明定理2.

6、2设线性空间中取定两个基由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那末43湘潭大学数学与计算科学学院王文强于是证明44湘潭大学数学与计算科学学院王文强因为线性无关，所以证毕.定理表明：与相似，且两个基之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵．45湘潭大学数学与计算科学学院王文强例４解46湘潭大学数学与计算科学学院王文强47湘潭大学数学与计算科学学院王文强解由条件知48湘潭大学数学与计算科学学院王文强49湘潭大学数学与计算科学学院王文强七、线性变换的运算设V是数域P上的线性空间，T1，T2，T3是V中的线性变换．

7、我们定义下列三种运算：(1)线性变换的和对每个x∈V，满足的变换称为线性变换T1与T2的和，记作T=T1+T2．50湘潭大学数学与计算科学学院王文强(2)线性变换的数量乘法对每个x∈V，λ∈P，满足的变换称为数λ与线性变换T1(x)的数量乘积，记作T=λT1.(3)线性变换的乘积对每个x∈V，满足的变换称为线性变换T1与T2的乘积，记作T=T1T2．51湘潭大学数学与计算科学学院王文强易证，T1+T2,λT1,T1T2都是线性变换，且有如下性质：52湘潭大学数学与计算科学学院王文强定义2.2设I是线性空间V的单位线性变换

8、，T为V的线性变换，如果存在V的一个变换S，使得ＴＳ＝ＳＴ＝Ｉ，则称线性变换T是可逆的，而S称为T的逆变换，记作T-1．容易证明：当线性变换T可逆时，其逆变换T-1也是线性变换．53湘潭大学数学与计算科学学院王文强定理2.3设线性空间V的线性变换T1，T2在V的某组基下的矩阵分别为A和B，则在这组基下(1)