中南大学线性代数课件.ppt

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1、第三篇集合论SetTheory主要内容第4章集合4.1集合的概念与表示4.2集合的运算4.3Venn氏图及容斥原理4.4集合的划分4.5自然数集与数学归纳法第5章二元关系第6章函数第4章集合（Set）4.1集合的概念与表示集合的概念又称为类、族或搜集是数学中最基本的概念之一不可精确定义(原始概念)集合的描述笼统地说，一些可以互相区分的任意对象(统称为元素)聚集在一起形成的整体就叫做集合，用大写的英文字母表示，如A，B…这些对象就是这个集合的元素(或称成员)，一般用小写字母表示，如a，b…集合中的元素不计次序{a,b,c,a}={c,b,a,d}集合

2、中的元素不计重度{x,y,x}={x,y}={x,x,x,y}元素与集合的关系a是集合A的一个元素,则记为a∈A，读做“a属于A”,或说“a在A中”a不是集合A的一个元素,则记为aA，读做“a不属于A”,或说“a不在A中”集合的元素可以是一个集合例：A={a,b,c,{a,b}}则{a,b}∈A且{a,b}A有限集与无限集定义4.1.1设A是一个集合。用A或#A表示A含有的元素的个数，称做A的基数，或阶。若#A=0，则称为空集；否则称为非空集。若#A为一非负整数，则称A为有限集；否则称为无限集。例：A={a,b,{a,b}}

3、A

4、=3；

5、{

6、A}

7、=1基数为n的非空有限集称为n元(或n阶)集合空集与全集显然，空集是不含有任何元素的有限集，常用符号Φ表示定义4.1.2全集恒用E表示，是指包含了讨论中涉及的全体元素的特殊集合全集也是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以有不同的全集集合的比较运算定义4.1.3集合相等(外延公理)两个集合A和B相等,即A=B,当且仅当它们有相同的成员A=Bx(xAxB)x(xA→xB)∧x(xB→xA)否则，用A≠B表示集合A和B不相等，即A≠Bx(xAxB)定义4.1.4设A和B是集合,如果A的每一元

8、素是B的一个元素,那么A是B的子集,也称B是A的母集(或称扩集)，记为AB,读做“B包含A”或“A包含于B”,即ABx(xA→xB)集合的比较运算定理4.1.1设A和B是集合,A=B当且仅当AB和BA（的反对称性）证明：ABBAx(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A)x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A))x(x∈Ax∈B)A=B集合的比较运算定义4.1.5设A和B是集合,如果AB且A≠B,那么称A是B的真子集,记作AB,读作“B真包含A”或“A真包含于B”,即ABABA≠Bx(x∈A

9、x∈B)x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B)(x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A))(x(x∈Ax∈B)x(x∈Ax∈B))(x(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A))x(x∈Ax∈B)x(x∈BxA)集合的表示列举法将集合中的元素一一列出，写在大括号内A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}，C={…,-4,-2,0,2,4,…}谓词描述法(指定原理)用谓词公式描述元素的共同属性一般形式：S={a

10、P(a)}表示a∈S当且仅当P(a)是真A={a

11、a∈I∧0＜a∧a＜5}

12、,{a

13、a∈I∧1≤a≤50}A={x

14、P(x)}，B={x

15、Q(x)}若P(x)Q(x)，则A=B若P(x)Q(x)，则AB递归定义法完全列举部分列举S被称为谓词P的广延集合应该是充分定义(良定)的递归定义法(归纳定义)用这种方法定义一个非空集合A时，一般应包括以下三个部分：⑴基本项已知某些元素(常用S0表示由这些元素组成的非空集合)属于A，即S0A。这是构造A的基础，并保证非空。⑵递归项给出一组规则，从A中(已获得的)元素出发，依照这些规则所获得的元素，仍然是A中的元素。这是构造A的关键部分。⑶极小化如果集合SA也满足⑴和⑵，则S=A

16、。这说明，A中的每个元素都可以通过有限次使用⑴和⑵来获得(或称A是满足条款(1)和(2)的最小集合)，它保证所构造出的集合A是唯一的。谁是谁不是同样集合S能归纳地定义如下：(1)(基础)3∈S;(2)(归纳)如果x∈S和y∈S,那么x+y∈S;(3)(极小性)S的元素都是由有限次应用条款(1)和(2)得出的。例如果全集是整数集合I,那么能为3整除的正整数集合S的谓词定义如下:字母表与串设Σ表示一个有限的非空的符号(字符)集合、我们称Σ为字母表。由字母表Σ中有限个字符拼接起来的符号串叫做字母表Σ上的一个字(或叫串)例(a)如果Σ={a,b,…,z},

17、那么is,then都是Σ上的字(b)如果Σ={你,我,人,工,…,是},那么“你是工人”是Σ上的串(c)如果Σ={a,b,