中南大学线性代数PPT1-习题

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1、把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且　　　．１　全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２　逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这　个元素的逆序数之总和即为所求排

2、列的逆序数．３　计算排列逆序数的方法定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４　对　换５n阶行列式的定义６n阶行列式的性质１）余子式与代数余子式７　行列式按行（列）展开２）关于代数余子式的重要性质８　克拉默法则克拉默法则的理论价值定理定理定理定理一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式三、克拉默法则典　型　例　题分别算出

3、排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．解例１一、计算排列的逆序数当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列．于是排列的逆序数为１　用定义计算（证明）例２用行列式定义计算二、计算（证明）行列式解评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．注意例３设证明由行列式的定义有评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列式

4、相等的常用方法．２　利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．３　用化三角形行列式计算例５计算解提取第一列的公因子，得评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，

5、逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．４　用降阶法计算例６计算解评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对

6、阶数不高的数字行列式比较适用．５　用拆成行列式之和（积）计算例７证明证６　用递推法计算例８计算解由此递推，得如此继续下去，可得评注７　用数学归纳法例９证明证对阶数n用数学归纳法评注计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以

7、适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解．三、克拉默法则解设所求的二次多项式为由题意得由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为证例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？解例13解第一章　　测试题一、填空题(每小题4分，共40分)二、计算下列行列式(每小题9分，共18分)．有

8、非零解？三、解答题(9分)．四、证明(每小题8分，共24分)．五、(9分)设行列式求第一行各元素的代数余子式之和测试题答案