中南大学线性代数ppt课件.ppt

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1、第五节线性方程组的有解判别第二章二、线性方程组的解法一、线性方程组有解的判定三、小结引例求解线性方程组分析：用消元法求解解用“回代”的方法求出解于是解得消元法解线性方程组始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换两个方程的位置；（2）用非零常数乘某个方程；（3）一个方程的k倍加到另一个方程上．在上述变换过程中，未知量并未参与运算，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算．显然上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．线性方程组线性方程组的系数矩阵线性方程组的增广矩阵对方程组的变换完全可以转换为对增广矩

2、阵B的初等行变换．一、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性（反证法）：(),,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设=(根据克拉默法则)个方程只有零解所对应的nDn这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR<即充分性：(),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.证必要性：,有解设方程组bAx=()(),BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，这与方程组有解相矛盾.()().BRAR=因此并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性：()(),BRAR=设()()(),

3、nrrBRAR£==设证毕其余个作为自由未知量,把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,小结有唯一解()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解齐次线性方程组：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，便可写出其通解.（未知量的个数）例1求解齐次线性方程组解二、线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例２求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等行变换，故方程组无解．例３求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等行变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４解证对增广矩阵B进

4、行初等行变换方程组的增广矩阵为原方程组等价于方程组由此得通解：例５设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：解法二)系数矩阵的行列式()()nBRAR<=Û有无穷多解bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结()()nBRAR==ÛÛ（未知量的个数）（未知量的个数）思考题思考题解答解故原方程组的通解为