中南大学线性代数-5.3-正定二次型ppt课件.ppt

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1、第三节正定二次型第五章二、正（负）定二次型的概念一、惯性定理三、正（负）定二次型的判别四、小结一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面限定所用变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．二次型的标准形中正系数的项数称为二次型的正惯性指数，负系数的项数称为二次型的负惯性指数.二、正(负)定二次型的概念证明充分性故三、正(负)定二次型的判别必要性故推论　对称矩阵为正定的充分必要条件是

2、：的特征值全为正．这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式都为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质注意：正定矩阵必须为实对称矩阵提示对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．提示利用正定矩阵的定义逆否命题：若矩阵主对角线上的某个元素小于或等于0，则此矩阵一定不为正定矩阵．例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为

3、正定二次型.即知是正定矩阵，例3判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.思考题说明：此题也可由特征值判别法判别于是