中南大学线性代数试卷

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1、考试试卷1闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量,令，则。2、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则。3、设，且，则。4、若阶方阵有特征值，则必有特征值。5、若二次型经正交变换化为，则。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是阶方阵，则的必要条件是（）。（A）中两行（列）元素对应成比例；（B）中有一行元素全为零；（C）任一行元素为其余行的线性组合；（D）必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵，是阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（）（A）；（B）；（C）；（D）。3、设向量

2、组当（）时，向量组线性相关。（A）5（B）4（C）3（D）24、设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量，为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5、设方阵是正定矩阵，则必有（）。（A）；（B）；（C）；（D）。三、（本题8分）计算行列式，其中。四、（本题12分）设，且，求矩阵及，其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分）设向量组不能由向量组线性表示。（1）求向量组的一个极大无关组；（2）求的值；（3）将向量用线性表示。六、（本题14分）设齐次线性方程组（Ⅰ）为，已知齐次线性方程组（Ⅱ）的

3、通解为。（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有非零公共解，若没有，则说明理由。七、（本题14分）设矩阵，（1）已知的一个特征值为求；（2）求方阵，使为对角阵。八、（本题8分）试证明：阶矩阵的最大特征值为，其中。参考答案一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、；3、4；4、；5、1。二、选择题（本题15分，每题3分）1、D；2、B；3、A；4、C；5、B.三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：原式=。四、（本题12分）解：由，得：，可逆，故；

4、由于，。五、（本题14分）解：（1）令，，则线性无关，故是向量组的一个极大无关组；（2）由于4个3维向量线性相关，若线性无关，则可由线性表示，与题设矛盾；于是线性相关，从而。（3）令，。六、（本题14分）解：（1），所以方程组（Ⅰ）的基础解系为：；（2）设，即，故上述方程组的解为，于是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解为：。七、（本题14分）解：（1），将代人上式，得；（2）由（1）得，显然为实对称阵，而令，显然也是实对称阵，是单位阵，由，得的特征值，属于对应的特征向量为，单位化：，属于对应的特征向量为，单位化：，取，则有。八、（本题8分）

5、证明：由得的特征值，，故的最大特征值是。考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。2、若A为4阶矩阵，且=，则=。3、设A=，且R（A）=3，则k=。4、已知向量,=（1,2,3），=（1，，），设A=，则A=。5、设A为n阶方阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵，若A有特征值必有特征值。二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A，B,C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且ABC=E，则下列各式中（）不成立。（A）CAB=E(B)(C)BCA=E(D)2、设A,

6、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则它们的秩满足（）。（A）必有一个等于零（B）都小于n(C)一个小于n，一个等于n（D）都等于n3、下列命题中正确的是（）（A）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C）任何n+k个n维向量（k）必然线性相关（D）若只有全为零时，等式才成立，且线性无关，则线性无关4、设，则=（）时，有为的基（A）（B）（C）（D）5、设二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则（）（A）k>8(B)k>7(C)k>6(D)k>5三

7、、（10分）计算n阶行列式,并求该行列式展开后的正项总数。四、（10分）设=,且，求矩阵，其中的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分）设有向量组，，，，(1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分）设向量，（1）求3阶方阵的特征值与特征向量；（2）求一正交矩阵为对角矩阵。七、（本题14分）设矩阵，（1）问；（2）当A是正交矩阵时，求方程组的解。八、（本题8分）证明：线性无关的充要条件是其中。参考答案一、填空：（每小题3分，共计15分）1、0；2、；3、-3；4、；5、

8、。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、D2、B3、C4、D5、A三、（本题10分）（练习册P117）解：，设展开式中正、负项总数分别为则，，于是正项总数为。四、（本题10分）