《大学线性代数》PPT课件

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1、§1.2n阶行列式特殊行列式的值排列与对换n阶行列式的定义排列n阶行列式25431是一个5级排列。例如，3421是4级排列；例1．写出所有的3级排列。解：所有的3级排列为：321。312，231，213，132，123，排列：由自然数1，2，，n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列。逆序数定义1.1在n级排列i1isitin中，如果is>it，则称is与it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数，记为N(i1i2in)。逆序与逆序数：排列：例如，N(123

2、4)=0，N(52341)=7。3421确定逆序数的方法：1234N(3421)=5。5由自然数1，2，，n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列。n阶行列式奇偶排列逆序数是奇数的排列，称为奇排列。逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列。奇排列与偶排列：3421是奇排列，1234是偶排列，35421是偶排列。定义1.1在n级排列i1isitin中，如果is>it，则称is与it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数。逆序与逆序数：排列：由自然数1，2，，n组成的

3、有序数组i1i2in称为一个n级排列。n阶行列式对换对换：例如，得到排列24351。排列21354经对换(1,4)，提问：排列21354经对换(1,4)，得到的排列是24351，排列的奇偶性有无变化？提示：N(21354)=2，N(24351)=5，奇偶性发生了变化。在一个排列i1isitin中，将两个数码is与it对调，就得到另一个排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it)。定理1。1定理1.1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改

4、变。对换：显然对换相邻的两个数码奇偶性改变。在一个排列i1isitin中，将两个数码is与it对调，就得到另一个排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it)。设排列ik1k2ksj经对换(i,j)变为jk1k2ksi。这个变换可以按如下方法完成：j与前面s+1个数码逐个对换，然后i与后面s个数码逐个对换。这里总共进行了2s+1次相邻对换，因为相邻对换次数为奇数，所以所得到的排列与原排列的奇偶性不同。证明

5、：定理1。2定理1.2n个数码(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。对换：(1)n级排列的总数为n(n-1)21=n!。(2)有排列i1isitin，必有排列i1itisin，两者的奇偶性不同，所以奇偶排列数相等，各占一半。定理1.1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。在一个排列i1isitin中，将两个数码is与it对调，就得到另一个排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it

6、)。证明：行列式定义n阶行列式的定义：定义1.2用n2个元素aij(i,j=1,2,,n)组成的记号称为n阶行列式，它表示代数和其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列。元素aij列标行标特点n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半。(-1)N(j1j2jn)。之前的符号是的n个元素的乘积。在行列式中，是取自不同行不同列行列式有时简记为

7、aij

8、。一阶行列式

9、a

10、就是a。a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………举例a14a23a

11、31a42a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44(-1)N(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项。表示的代数和中有4!=24项。a14a23a31a42取自不同行不同列，的列标排列为奇排列4312，所以它不是行列式中的一项。有两个取自第四列的元素，在乘积a14a23a31a44中a14a23a31a44例2例2．计算n阶下三角形行列式D的值：其中aii0(i=1,2,,n)。D=

12、a11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)N(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n行只能取ann。，这样不为零的乘积项只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann。练习及解练习：1.求下列排列的逆序数：(1)41253；(2)3712456。解：(1)N(41253)(