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时间:2019-06-21
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1、§1.2n阶行列式特殊行列式的值排列与对换n阶行列式的定义排列n阶行列式25431是一个5级排列。例如,3421是4级排列;例1.写出所有的3级排列。解:所有的3级排列为:321。312,231,213,132,123,排列:由自然数1,2,,n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列。逆序数定义1.1在n级排列i1isitin中,如果is>it,则称is与it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数,记为N(i1i2in)。逆序与逆序数:排列:例如,N(123
2、4)=0,N(52341)=7。3421确定逆序数的方法:1234N(3421)=5。5由自然数1,2,,n组成的有序数组i1i2in称为一个n级排列。n阶行列式奇偶排列逆序数是奇数的排列,称为奇排列。逆序数是偶数或0的排列,称为偶排列。奇排列与偶排列:3421是奇排列,1234是偶排列,35421是偶排列。定义1.1在n级排列i1isitin中,如果is>it,则称is与it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数。逆序与逆序数:排列:由自然数1,2,,n组成的
3、有序数组i1i2in称为一个n级排列。n阶行列式对换对换:例如,得到排列24351。排列21354经对换(1,4),提问:排列21354经对换(1,4),得到的排列是24351,排列的奇偶性有无变化?提示:N(21354)=2,N(24351)=5,奇偶性发生了变化。在一个排列i1isitin中,将两个数码is与it对调,就得到另一个排列i1itisin,这样的变换称为一个对换,记为对换(is,it)。定理1。1定理1.1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改
4、变。对换:显然对换相邻的两个数码奇偶性改变。在一个排列i1isitin中,将两个数码is与it对调,就得到另一个排列i1itisin,这样的变换称为一个对换,记为对换(is,it)。设排列ik1k2ksj经对换(i,j)变为jk1k2ksi。这个变换可以按如下方法完成:j与前面s+1个数码逐个对换,然后i与后面s个数码逐个对换。这里总共进行了2s+1次相邻对换,因为相邻对换次数为奇数,所以所得到的排列与原排列的奇偶性不同。证明
5、:定理1。2定理1.2n个数码(n>1)共有n!个n级排列,其中奇偶排列各占一半。对换:(1)n级排列的总数为n(n-1)21=n!。(2)有排列i1isitin,必有排列i1itisin,两者的奇偶性不同,所以奇偶排列数相等,各占一半。定理1.1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。在一个排列i1isitin中,将两个数码is与it对调,就得到另一个排列i1itisin,这样的变换称为一个对换,记为对换(is,it
6、)。证明:行列式定义n阶行列式的定义:定义1.2用n2个元素aij(i,j=1,2,,n)组成的记号称为n阶行列式,它表示代数和其中和式中的排列j1j2jn要取遍所有n级排列。元素aij列标行标特点n阶行列式共有n!项,且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半。(-1)N(j1j2jn)。之前的符号是的n个元素的乘积。在行列式中,是取自不同行不同列行列式有时简记为
7、aij
8、。一阶行列式
9、a
10、就是a。a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann…………举例a14a23a
11、31a42a14a23a31a42例如,四阶行列式a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44(-1)N(4312)a14a23a31a42为行列式中的一项。表示的代数和中有4!=24项。a14a23a31a42取自不同行不同列,的列标排列为奇排列4312,所以它不是行列式中的一项。有两个取自第四列的元素,在乘积a14a23a31a44中a14a23a31a44例2例2.计算n阶下三角形行列式D的值:其中aii0(i=1,2,,n)。D=
12、a11a21a31…an10a22a32…an200a33…an3000…ann……………解:为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零,D=(-1)N(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11,第三行只能取a33,第二行只能取a22,第n行只能取ann。,这样不为零的乘积项只有a11a22a33ann,所以=a11a22a33ann。练习及解练习:1.求下列排列的逆序数:(1)41253;(2)3712456。解:(1)N(41253)(
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