宁波诺丁汉大学线性代数课件.ppt

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1、第四节线性方程组解的结构(1)n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩R(A)

2、b)的秩相等,且当R(A)=R(B)=n时有唯一解;当R(A)=R(B)

3、2为Ax=0的解,则x=1+2也是Ax=0的解.证明:因为A1=0,A2=0,所以A(1+2)=A1+A2=0,故x=1+2也是Ax=0的解.(2)若x=1为Ax=0的解,k为数,则x=k1也是Ax=0的解.证明:因为A1=0,所以A(k1)=kA1=k0=0,故x=k1也是Ax=0的解.这两个性质表明,Ax=0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的,因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次方程组Ax=0的解空间.二、基础解系及其求法称向量组1,2,···,t为齐次线性方程组Ax=0的基础解系,如果(1)1,2,···

4、,t是Ax=0的解的一个最大无关组;(2)Ax=0的任一解都可由1,2,···,t线性表出.如果向量组1,2,···,t为齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系,那么,Ax=0的通解可表示为:x=k11+k22+···+ktt其中k1,k2,···,kt为任意常数.设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的前r个列向量线性无关,于是A可化为:即有方程组(1)现对(xr+1,···,xn)T取下列n–r组数(向量):分别代入方程组(1)依次得:从而求得原方程组的n–r个解:···,定理1:当n元齐次线性方程组Amnx=0的系数矩阵的秩R(A)=r时,解集S的

5、秩为n–r.依据以上的讨论，还可推得当R(A)=n时,方程组Ax=0只有零解,故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).当R(A)=r

6、.证明:设B=(b1,b2,···,bl),则AB=A(b1,b2,···,bl)=(0,0,···,0)=Oml,即Abi=0(i=1,2,···,l),也就是说,B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.R(B)=R(b1,b2,···,bl)n–R(A).R(A)+R(B)n.性质知:方程组Ax=0的解向量组的秩为n–R(A),由齐次线性方程组解的因此,故三、非齐次线性方程组的解证明:因为A1=b,A2=b,(1)设x=1及x=2都是方程组Ax=b的解,则x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解.所以A(1–2)=A1

7、–A2=b–b=0.故,x=1–2为对应齐次方程组Ax=0的解.(2)设x=是方程组Ax=b的解,x=是方程组Ax=0的解,则x=+仍为方程组Ax=b的解.证明:因为A=b,A=0,所以A(+)=A+A=0+b=b.故,x=+为方程组Ax=b的解.其中k11+k22+···+kn-rn-r为对应齐次线性方程组Ax=0的通解,*为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解.非齐次线性方程组Ax=b的通解为:x=k11+k22+···+kn-rn-r+*.例4:求解方程组解:对增广矩阵B施行初等行变换:可见R(A)=R(B)=2,故方

8、程组有解,并有取x2=x4=0,则x1=x3=即得方程组的一个解取即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:于是所求通解为:在对应的齐次线性方程组中,一、向量空间的概念说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指第五节向量空间定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．.,33是一个向量空间维向量的全体R例1例2判别下列集合是否为向量空间.解例3判别下列集合是否为向量空间.解维向量，集合为两个已知的设nba,例4试判断集合是否为向量空间.一般地，