《福州大学线性代数》PPT课件

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1、第一章行列式(Determinant)§1二阶与三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行(row)、竖排称列(column))的数表1.定义即aij称为行列式(5)的元素或元.aij的第一个下标i称为行标.aij的第二个下标j称为列标.行列式第i行第j列的元素aij称为行列式(5)的(i,j)元.主对角线副对角线对角线法则2.二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.3.则当系数行列式例1解二、

2、三阶行列式1.定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)对角线法则2.三阶行列式的计算注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．(2)沙路法说明(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例2解方程左端§2全排列及其逆序数一、概念的引入二、全排列三、排列逆序数一、全排列问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.同理1.由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称为一

3、个n级排列。如：12345，54321，43512均为5级排列2.123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。二、排列的逆序数在一个排列中,若数则称这两个数组成一个逆序.1.定义n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.(即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序）2.定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.3.排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.4.计算排列逆序数的方法设排列为为构成的逆序数则其逆序数为例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.例1求排列32514的逆序数.§3n阶行列式的定义一、三

4、阶行列式的结构二、n阶行列式的定义一、三阶行列式的结构三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即3!项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列二、n阶行列式的定义1.定义解:例计算行列式例4证明(2)(1)对角行列式注意例5计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例5计算上三角行列式解例6同理可得下三角行列式上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的

5、一次方程组的需要而定义的.2、n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积,正负号由列标排列的逆序数决定.小结3、n阶行列式的定义很抽象，只要能够知道定义式中各符号的意义就可以了.思考题已知思考题解答解含的项有两项,即对应于§4对换一、对换的定义二、对换与排列的奇偶性的关系一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如二、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．定理2阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.§5行列式的性

6、质一、定义二、行列式的性质三、应用举例一、定义行列式称为行列式的转置行列式.记二、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.互换行列式的两行,行列式变号.（列）性质2推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有.82582521-===cc性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．性质

7、5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变．例如三、应用举例计算行列式常用方法利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例1例2计算5阶行列式解例3证明证明计算行列式常用方法三、小结(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．