《线性代数§》PPT课件.ppt

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1、6.2化二次型为标准形只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.对于二次型,我们讨论的基本问题是:寻求可逆的线性变换x＝Cy,将二次型化为标准形.或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使得为对角阵.设说明如何找矩阵C？一、正交变换法已知结论：对任意实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得其中为矩阵A的n个特征值.因为Q为正交阵，所以于是由此得到：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤例1:将二次型通过正交变换x=Py化成标准形.f=17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8

2、x2x3解:1.写出对应的二次型矩阵.2.求A的特征值.=(–18)2(–9)从而得A的特征值:1=9,2=3=18.3.求特征向量.将1=9代入(A–E)x=0得基础解系:1=(1,2,2)T.将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系:2=(–2,1,0)T,3=(–2,0,1)T.将特征向量正交化:得正交向量组取1=1,2=2,1=(1/2,1,1)T,2=(–2,1,0)T,2=(–2/5,–4/5,1)T.将正交向量组单位化,令得4.作正交变换令于是所求正交变换为:且有f=9y

3、12+18y22+18y32.（1）几何意义：在自然基坐标系下的二次曲面说明：17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3=1在另一直角坐标系下的方程为9y12+18y22+18y32=1.它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，主轴长度分别为为A的特征值，而变换的矩阵正是由基到基的过渡矩阵。（2）一般，的符号决定二次曲面的类型三正：椭球面；两正一负：单页双曲面；一正两负：双页双曲面；二正一0：椭圆柱面一正一负一0：双曲柱面（3）二次型的标准形不是唯一的.(4)正交变换的优点：保持几何形状不变,

4、保持度量.(5)利用正交变换法时，一定有为A的特征值。一般地；不一定是A的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4例2:求一个正交变换x=Py,把二次型化为标准形.解:二次型的矩阵为A的特征多项式为计算特征多项式:把二,三,四列都加到第一列上,有把二,三,四行分别减去第一行,有从而得A的特征值:1=–3,2=3=4=1.当1=–3时,解方程组(A+3E)x=0,得基础解系:单位化即得当2=3=4=1时,解方程组(A–E)x=0,可得正交

5、的基础解系:单位化即得:于是正交变换为:且有f=–3y12+y22+y32+y42.解：二次型的矩阵为:求得特征多项式为:

6、A–E

7、=–(4–)(9–).于是A的特征值为:1=9,2=4,3=0.对应特征向量为:例3:化为标准形,并指出f(x,y,z)=36表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型f(x,y,z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz正交变换为:化二次型为f=9u2+4v2.可知f(x,y,z)=36为椭圆柱面方程.将其单位化得在o-xyz坐标系中的图形在o-uvw坐标系中的图形例4已知二

8、次型经过正交变换化为标准形求的值和正交矩阵.解：二次型和标准形的矩阵分别为：由题设条件又故与相似，从而A有特征值所以有又故由解方程组得特征向量：由解方程组得特征向量：由解方程组得特征向量：单位化得：正交矩阵为：1.实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请注意这种研究问题的思想方法.2.实二次型的化简,并不局限于使用正交矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种方法——拉

9、格朗日配方法.二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形,其特点是保持几何形状不变.问题:有没有其它方法,也可以把二次型化为标准形?问题的回答是肯定的.下面首先介绍——拉格朗日配方法.1.若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项,但是aij0(ij),则先作可逆线性变换:化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.(ki,j).例5:化二次型为标准形,并求所用的线性

10、变换矩阵.f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3解:用含有x1的项配方含有平方项=x12+2x1x2+2x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2