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1、线性代数矩阵的概念矩阵的基本运算矩阵的初等变换与矩阵的秩逆矩阵线性方程组解的判定矩阵的概念一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、几种特殊的矩阵四、同型矩阵和矩阵相等某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况可用表格来表示:一、矩阵概念的引入C到站ABCD发站ABDCCABD0110101010010100二、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为m行n列矩阵，简称mXn矩阵。记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元
2、素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线例1:线性方程组线性方程组的系数与常数项按原位置可排为的解取决于系数与常数项对线性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究.例2：假设要将民用煤从3个产地运往4个销售地。如果用表示由产地运到销售地的数量（单位：）：三、几种特殊矩阵1、当m=1时，只有一行的矩阵：称为行矩阵(或行向量)。2、当n=1时，只有一列的矩阵：称为列矩阵(或列向量)。3、当m=n时，n阶方阵，记作。当m=n=1时，可看做一个数。4、主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角矩阵.不全为0注(1).当时，对角
3、矩阵称为数量矩阵.(2).当时，对角矩阵称为单位矩阵,记做.5、形如形如的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵.6、元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.四、同型矩阵与矩阵相等1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例3:设解:矩阵的基本运算一、矩阵的加法二、矩阵的数乘三、矩阵的乘法四、矩阵的转置１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，
4、规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律1、定义二、矩阵的数乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）例1：已知求解：三、矩阵的乘法引例：某校明后两年计划建筑教学楼和宿舍楼。建筑面积及材料耗用量如表：教学楼宿舍楼明年2010后年3020建筑面积（单位：100平方米）材料（每100平方米耗用量，单位：吨）钢材水泥铝材教学楼2180.4宿舍楼1.5150.5明后两年三种建筑材料的耗用量（单位：吨）钢材水泥铝材明年后年C称为A与B的乘
5、积１、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注：1、只有当左边矩阵A的列数和右边矩阵B的行数相等时，A与B才能相乘，简称为行乘列规则；2、矩阵C中第i行第j列的元素等于左矩阵A的第i行元素与右矩阵B的第j列对应元素乘积之和；3、AB仍为矩阵。它的行数等于A的行数，它的列数等于B的列数，矩阵乘法的示意图如下：第J列mxssxnmxn第i行例2：设例3：故解对于线性方程组利用矩阵表示线性方程组它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程
6、组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为例4:利用矩阵表示线性方程组所以方程组可表示为：例5：求AB和BA(1)，(2)，(3)，解:(1)BA无意义(2)(3)注⑴只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。⑵矩阵乘法不满足交换律,AB称B右乘A，BA称B左乘A。当AB有意义时,BA不一定有意义。即使BA有意义，AB也不一定与BA相等⑶两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。即当AB=O时，不能推出A=O或B=O（与实数乘法相区别）再例如：故当AB=AC，且A≠O时，不能
7、推出B=C。若A≠O，B≠O且AB=O时，A是B的左零因子，B是A的右零因子。零因子不唯一。单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．例6：解：若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的。由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．因为AB=BA，所以A与B可交换.例7：２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;(5)若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且注矩阵不满足交换律，即：定义把矩阵的行换成列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例8：１、转置矩阵四、矩阵的转置
8、运算2、转置矩阵的运算性质例9：已知解法1解法2一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换及秩矩阵的初等变换 与矩阵的秩②③③①②②－2①；③－①③②①③①②③①②③－4②一、消元法解线性方程组③①②③②①③①②②－2①；③－①②③③①②③①②③－4②1、上述解方程组的方法称为高斯消元法．2、把方程组看作一个整体变形，用三种变换(1)交换方程次序
