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1、第二节导数的运算法则一函数的和、差、积、商的导数复合函数的求导法则反函数的求导法则隐函数的求导法则参数方程所确定的函数的导数高阶导数相关变化率问题1一函数的和、差、积、商的导数定理1(1)(2)特别(3)特别2证(1)、(2)略,仅对(3)进行证明3推论设例1解例2解4例3解所以同理5例5解例4解6例6解7二、复合函数的求导法则定理2即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证给定自变量在处的增量相应函数的增量为相应函数在的增量为8当时,当时，如果记则所以,
2、无论还是总成立,9链式法则可以推广到多个函数的复合中去,例如例7解或10例8解令例9解令11运算熟练后,可以不设出中间变量而直接按复合步骤求导.例10已知求解例11解12例12设求解当时,当时,所以13例13解同理可得所以14例14求幂函数的导数解可以推出,对所有的只要可导,都有例如15例15对于幂指函数可先进行恒等变换在进行求导运算.设求解16三反函数的导数定理317证且所以说明：（1）反函数的导数等于直接函数导数的倒数.（2）18例16解所以19同理可得例17设是函数的反函数,求解且20小结1常数
3、和基本初等函数的导数公式212函数的和、差、积、商的求导法则设可导,3复合函数的求导法则设则复合函数的导数为22利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例18解23例19解例20求的导数.解2425例21解26四隐函数的导数隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则设有方程如果对某个区间内的总存在一个函数使得则称是由方程确定的隐函数.视方程中的为函数于是可看成关于恒等式求导法则对方程两边求导,解出利用复合函数的即可.27例21解解得28例
4、22解所求切线方程为显然通过原点.29观察函数可以利用对数函数的性质,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.---对数求导法例23解等式两边取绝对值的对数得30例24解等式两边取对数得31五参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?给定参数方程如果对于某个区间上任意一个参数便得到一对若此时将与对应起来,这样就得到一个函数称之为由参数方程所确定的函数.32由复合函数及反函数的求导法则得即33例25解所求切线方程为34例26解35六高阶导数问题:变速直线运动的
5、加速度.定义二阶导数,1高阶导数的基本概念记作36三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,即记为记为37例28解二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.38例29求下列函数的二阶导数解(1)(2)39例30设解特别40例31解设则同理41例32设求解例33解设则注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)42同理可得所以设432高阶导数的运算法则莱布尼兹公式44例34解45例35解46例36解47例37解（规定所以48例38设且存
6、在,求解由公式知从而是的函数,而又是的反函数,所以是由参数方程确定的函数,由参数方程确定的函数求导法则得49所以例39求由参数方程所确定的函数的二阶导数.解50例40解51例41设是由方程所确定的隐函数,求解将方程两边对求导,(1)解得在对方程(1)两边对求导,解得将代入52七相关变化率相关变化率.问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例4253解仰角增加率54例10解水面上升之速率4000m55
