应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 2-2.ppt

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1、2·2导数的运算案例研究案例2.2.1物体的运动速度：已知某物体做直线运动，路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关为求物体在时的速度.案例2.2.2碳-14的衰减速度：放射性元素碳-14（1克）的衰减函数为其中Q是第t年后碳-14的余量（单位：g）.求碳-14的衰减速度（单位：g/年）.抽象归纳函数的和差积商的求导法则定理：设和在点x处都可导，则在点x处也可导，且有下列法则：（1）（2）（3）证(2)于是所以特例：当C为常数时，有于是，得（4）（C为常数）.推广：案例2.2.1的解根据导数的四

2、则运算法则，得于是，得答：物体在第2s时的速度是2.3069m/s.例1求函数的导数．解即类似地，可以求得：例2求函数的导数．解即类似地，可以求得：例3某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少？解答：T关于时间t的变化率是复合函数的求导法则定理若函数在点x处可导，而函数在对应点处可导，则复合函数在点x处可导，且其导数为证当时，则有因为在点x处可导，所以必连续.因此，当.于是又所以当时，可以证明上式仍然成立.结论：两个可导函数的复合函数的导数

3、，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.简记作案例2.2.2的解函数是由复合而成的.因为所以即碳-14的衰减速度为（单位：g/年）.例4解可看作是由复合而成的.因为所以例5解推广：复合函数的求导法则也称为链式法则例6求函数的导数.解例7证明幂函数导数公式：证因为所以即例8若水以的速度灌入高为10m，底面半径为5m的圆锥形容器中（如图），问当水深为6m时，水位的上升速度为多少？解设在时间为t时，容器中的水的体积为V，水面的半径为r，容器中水的深度为x.由题意，有又即因此，因为水的深度x

4、是时间t的函数，即所以水的体积V通过中间变量x与时间t发生联系，是时间t的复合函数，即两端关于t求导数，得由已知，代入上式，得答：当水深6m时，水位上升速度约为0.071m/min.隐函数的求导法则引例1这种形式的函数，叫做显函数.引例2在方程中，给x一个确定值，有惟一确定的y值与之对应.因此，y是x的函数.这种函数关系隐含在方程中，通常称为隐函数一般地，我们把由方程所确定的函数叫做隐函数.问：怎样求隐函数的导数呢？例9求由方程所确定的隐函数的导数解两端关于x求导，得从上式中解出得隐函数求导法则：

5、在方程中，将y看作x的函数，y的表达式看作x的复合函数，利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导，得到一个关于x、y、的方程，从中解出即得所求隐函数的导数.例10求椭圆在点处的切线方程.解椭圆方程两边对x求导，得解出得将代入上式，得于是所求切线方程为即例11求函数的导数.解可化为两边对x求导数，得即因为当时，所以于是，得类似地，可求得例12设证明证对两边取对数，得两边对x求导，得整理，得对数求导法：先两边取对数，再利用隐函数的求导法则求出导数，这种方法称为对数求导法．例13求函数的导数.解两边

6、取对数，得两边对x求导数，得即讨论：何时用对数求导法比较简便？小结：一、求导法则1．导数的四则运算法则；2．复合函数的导数法则；3．隐函数的导数法则；4．对数求导法。二、基本公式（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）