[原创] 发展课讲义：平面几何.doc

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1、第九讲平面几何平面几何是研究平面几何图形的学科，它强调逻辑的严谨性，其小又不乏需耍些儿何直觉.本讲主要对最基本的儿类儿何问题加以讨论.例1.已知卩为4ABC内一点，使ZBPA=ZCPA,G是线段AP±的点，直线BG、CG分别交AC、AB于E、F,求证：ZBPF=ZCPE.BQ图9-1AFBQCEFBQCEA证明：延长AP交BC于Q,由塞tL(Ceva)定理得又由ZBPA=ZCPA,知ZBPQ=ZCPQ,因此，有PBBQPC~QC'AFPBCEFBPCEA过A作AM//PB交PF的延长线于点M；AN//PC交PE的延长线于点N,所以有AM_AFPC_CE§AN~EA*由①、②得AM=

2、AN.又由于ZPAM=180°-ZBPA=180°-ZCPA=ZPAN,所以△PAM^APAN故ZM=ZN,从［fnZBPF=ZCPE.注：这是由一道陈题改编而得，灵活运用全等是关键，如果说辅助线需要灵感，那灵感来H于対已有问题的感悟，当然本题也可用三角法来解体，但不如全等这样简洁.例2.已知AABC中,BC>CA>AB,D是BC±一点,E是BA延长线上一点,使得BD二BE=CA,设P是AC±一点，使得E、B、D、P共圆，设BP交AABC的外接证明：延长AQ至F,使得FQ=QC.因为A、B、C、Q四点共圆，所以ZFQC=ZABC=ZEBD又在ABED与ACQF屮，由于BE=BD,Q

3、C=QF,所以ZF=ZBED=ZBPD.又因为BD=AC,ZPBD=ZFAC,所以△BPD^AAFC,从而BP=AF=AQ+QC注：这又是一道可用全等证明的问题，展于线段的和差倍分问题，本题也可用托勒密(Ptolemy)定理处理，请读者试一试.例3•设P为AABC内一点，使得ZPBC=ZPCA

4、PB,所以△ACF^AABP.QQ(ACA2这导致鱼吐=汪空二空二与P的位置无关.S^ABPSgBPXAD)注：这是一道典型的相似问题，利用角相等，证明有三角形相似是关键.例4.已知点P是AABC内一点,ZPAB=ZPBC=ZPCA=a,AB,BC,CA分别过A、B、C三点,且分别垂直于PA、PB、PC,求证：Saabc=Saa-bv-sin2a证明：过点C作CD丄BP于D,连CD.因为PA丄AB,PB丄B'C'所以A、BB、P四点共圆.所以ZCDB^ZCBD.乂显然P、B、CD、C这五点在以PC为直径的圆上，所以，ZCDBJZPBC=(x=ZDBC.所以，CD//BC.所以，

5、四边形BCDC*是圆内接梯形.所以，BC=CDrriqBCC*D.BC同理：箜Jyr以,==sina.bc=sina.ACA*B'AC因此，AABCsAABC,且相似比为sina.所以,SAABC=SAABCSin2（X.注：△ABC）

6、i,满足ZPAB=ZPBC=ZPCA=w的点称为布洛卡（Brocard）点，这样的谕为AABC的Brocard角，它还有些有趣的性质，例如，若设ZPAB=ZPBC=ZPCA=a,则—t—=—^+―U+丄-等.此外，本题也可这样解：sin2asin2Asin2J?siirCV由ZABBr=71-ZAPB=ZB,=>AABCs^ABC•则小兀=s..从

7、BC乂AB=AP•sinBsin(B-a)，故AB=AAB=APcota+AP•cot(B-a),所以乂因为Saaod+Saboc=—SABCD=SaaBO+SaCOD,=()2=(sina)2二sin2a.S・・cot(B一a)+cota例5.面积ABCD屮，E、F分别为边BC、CD±的点，P、Q、R分别为AE、EF、AF的中点,求证:BP、CQ、DR三线共点.证明：设BP、CQ相交于点O,连结DO、AO、EO、FO因为BO平分AE所以点A、E到BO的距离相等,Saabo=Sabeo»同理，Saceo=Sacfo从而DO平分AF,亦即DO过即Saaod+Sabeo+Saoec^S

8、aabo+Sacfo+Saodf,所以，Saaod=Saodf^即点A、F到OD的距离相等,AF的中点R.注：证明线共点吋，经常证明第三条直线过前两条直线的交点，本题是典型的利从而DO平分AF,亦即DO过即Saaod+Sabeo+Saoec^Saabo+Sacfo+Saodf,所以，Saaod=Saodf^即点A、F到OD的距离相等,AF的中点R.注：证明线共点吋，经常证明第三条直线过前两条直线的交点，本题是典型的利用面积证明点共线（或线共点）的问题.例6.设P是AA