平面几何四心讲义

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1、实用标准文案三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论11、外心12、内心23、垂心34、重心55、外心与内心66、重心与内心67、外心与垂心78、外心与重心89、垂心与内心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的联想91、由内心、重心性质产生的联想92、重心的巧用113、三角形“四心”与一组面积公式12三角形各心间的联系15与三角形的心有关的几何命题的证明16三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能

2、力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)∠A=。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举

3、例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．精彩文档实用标准文案例1、如图9-1所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。例2、如图9-2所示，在△ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为△ABC的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B。例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别

4、作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。(3)∠BIC=90º+∠A，∠CIA=90+∠B，∠AIB=90º+∠C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－

5、110)．说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点．精彩文档实用标准文案由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心．例1、如图9-4所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心。说明：本题还可证明O到△ABC的三边距离相等，得到O为△ABC的内心。例2、如图9-5所示，I为△

6、ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆。例3、在圆内接四边形ABCD中，顺次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的内心。求证：四边形是一个矩形。3．△ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E．求证：DE=DB+EC．3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△ABC的垂心一般用字母H表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。(2)若H在△精彩文档实用标准文案ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、

7、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．已知：如图3－114，△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．分析要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利用已证的结论来证明．为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命

8、题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．例1、设H是