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《2014年暑假平面几何讲义：四点共圆教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点,若,则四点共圆方法二线段交于,若,则四点共圆方法三线段交于,若,则四点共圆方法四：若四边形,，则四点共圆方法四、已知是内角或外角平分线，,且,则四点共圆证明设,因为,所以，所以，内角时,外角时，所以四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD是圆O内接四边形,则AD•BC+AB•CD=AC•BD证明在AC上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD∼△EDC,△ADE∼△BDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD
2、•BC+AB•DC=AE•BD+BD•CE=AC•BD例1、已知点在内，,.求证.证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作关于对称点,易知≌,≌,于是,所以≌,得到,进而.证明（二）作外接圆交延长线于,可知,得到∽,所以∽,得到,所以.例2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）是内一点，点在上，且,.则证明先证明,过作垂线交分别于，直线交于,取中点,易知四点共圆，四点共圆，所以(1),(是的内角)，因为，所以,于是,易知四点共圆，圆心是，,所以,进而，得到是中垂线，所以，(1)得下面我们证明，因为,两式相除得,因为所以，证明（二）在取,使得,所以∽,进而得到∽,易知四点共圆，所
3、以例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，是底边上任一点，是形内一点，满足，。求证：。证明作外接圆交分别于，易知∽,所以∽，所以（1）,易知∽,进而得到∽,所以（2）,易知四点共圆，所以,所以,,所以,进而根据（1）、（2）得到。例4、已知是锐角三角形，是边上中线，是垂心，于点，求证四点共圆证明（一）：延长到使得,易知四边形是平行四边形，因为，,所以,得到，所以四点共圆证明（二）,所以是⊙切线，所以,所以∽,得到,所以四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知在中，,点在内部，点是中点，.求证.证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设,,,,,,因为
4、,可知，可知,（1），,可知得到（2），根据（1）、（2）得，即。证明(二)（文武光华数学工作室潘成华给出）延长交以为圆心，为半径的圆于,直线交于,,,因此,于是在⊙上，∽,所以∽,可知,即,得证例6、已知是边中点，交外接圆⊙于,过点作交⊙于,在上取点,使得.求证证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）因为,点是中点，所以是调和四边形，易知直线、过点切线共点，得到平分,,因此是旁心，进而.证明（二）因为是边中点，所以,得到,易知是等腰梯形，所以,根据托勒密定理可知,得到，,所以∽，所以,可知,取中点,同理可得,所以与交点设为,则为中点，所以,于是证明（三）（田开斌老师）作交于，所
5、以,,,所以四点共圆，因为,所以例7、已知是角平分线交于，外心分别是,求证证明易知，,所以（1），又，于是，所以四点共圆，根据（1）得到证明（二）记三角，设直线交于，,同理·,所以，，所以四点共圆得到例8、已知⊙、⊙交于,四边形是平行四边形，在⊙上，交于,直线交⊙于.求证四点共圆证明延长交⊙于点,连接，易知是等腰梯形，是等腰梯形，,所以四点共圆，因此五点共圆,进而四点共圆例9、已知分别是外心，内心，求证的充要条件是,证明延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，AB•DC+AC•BD=AD•BC(1),因为OI⊥AI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)•BD=BC•2DI,因为∠
6、BID=∠IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，若O，I分别是△ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证OI⊥AI证明方法是一样的例10、为外接圆上一点，在上的射影为.点分别是中点。证明.证明取中点，连接,易知∽，所以,所以,可知∽,所以第十题、已知是边中点，交外接圆⊙于,过点作交⊙于,在上取点,使得.求证例11、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）⊙、⊙外切于,⊙弦切⊙于,点是延长线上一点,求证充要条件是.（2014688：49于镇江大港中学）证明（文武光华数学工作室南京潘成华）过作两圆公切线交于,线段交于,等价于,等价于,因为,得到,因此，等价于,等价于,即例1
7、2、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下已知是锐角的垂心，以为直径的圆交外接圆于,直线交于,直线交于,求证证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设外接圆为⊙,直线交⊙于,所以共线，延长交于点,易知四点共圆，所以,所以,同理,所以是平行四边形，得到是中点，连接交⊙于,因为,可知共线，所以是中位线，得到平行且相等，所以是中点，可知例13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设周长为，，求证的旁切圆与外接圆外切。（2014-6
