数竞平面几何(四点共圆)讲义教师.版

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1、...平面几何（四点共圆）冲刺讲义________班_______号姓名________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1.欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②九点圆的半径是的外接圆半径的.3.三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：①三角形过同一

2、顶点的内、外角平分线互相垂直；②，；③（角平分线定理）；④（“鸡爪”定理）.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：.......证明：过作的平行线分别交、于、，则.取中点，连接、、、.，四点共圆.，而由，有.，四点共圆.，而，，.而是的中点，是的中点，..例2.等腰梯形中，∥，，分别是，的内心，是直线上的一点，，的外接圆交的延长线于.证明：．......证明：，故共圆，则，因此，而，所以，，由此，．例3.在中，，内心为，内切圆在，边上的切点分别为，，设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆..

3、.....证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则．设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以∽，且相似比为，熟知：。又∽，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上．Z例4.设A、B为圆Ã上两点，X为Ã在A和B处切线的交点，在圆Ã上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆．证明：设O为圆心，AB∩XO=M．......∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM=XA2=XC·XD．∴O、M、C、D四点

4、共圆．∴∠XMO=∠OCD=∠ODC=∠OMC．∴∠CMG=∠GMD．在CM上选取一点E使MX∥DE，则MD=ME．．在GX上取点X′，使∠GFD=∠DFX′，在X′F上取W使CF∥GW．由得CG·X′D=X′C·GD．由上面两式得=，故X=X′．∴∠GFD=∠XFD．又∵=<1和∠XPB=∠CDF<1．∴H和B在CX的同一侧．设H′为直线BF与△GFX外接圆的交点，则∠H′XG=∠H′FG=∠H′FX=∠H′GX．∴H′G=H′X，∴H′=H．∴X、F、G、H四点共圆，得证．注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设

5、外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证.......例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心．求证：AP⊥OH．证明：由∠BMC=∠BNC=90°知B、C、N、M四点共圆．∴AM·AB=AN·AC．又AE=AB,AF=AC，∴AM·AE=AN·AF，即E、F、N、M共圆．注意到由∠AMH=∠ANH=∠AEO=∠AFO=90°知AH、AO分别为△AMN、△AEF外接圆的直径．过AH中点H′与AO中点O′分别为△AMN与△AEF的外心，且易知O′H′∥OH．∴只需证A

6、P⊥O′H′，只需证A、O为△AMN、△AEF外接圆的等幂点即可．注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PM·PN=PE·PF．故P也为等幂点．综上所述，原命题成立．......例6.设△ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明：若QR=ST，则PQ=UT．证明：过O作OK⊥PU=K，OF⊥BU=F，连结AK延长交⊙O于另一点E，过C作CH∥PU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE．由垂径定理知BF=FC,QK=KT，且

7、QR=ST．∴RK=KS即K是RS的中点，且CH∥PU．∴==⇒==1⇒HG=GC．由中位线定理知FG∥BH．∴∠FGE=∠BAE=∠BCE⇒F、G、C、E共圆．∴∠EFC=∠EGC=∠AGH=∠UKG．∴∠EFO+∠OKE=∠OFC+∠CFE+∠OKE=90°+(∠UKG+∠OKE)=90°+90°=180°．∴K、O、F、E四点共圆…①又∵∠OKU+∠OFU=2×90°=180°，∴K、O、F、U四点共圆…②结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，∴∠KUO=∠KEO．又∵PA为⊙O切线⇒OA⊥PA，且OK⊥PU⇒∠KEO=∠KAO．......∴

8、∠KPO=∠KUO⇒OP=OU．又∵OK⊥PU，∴PK=UK．而QK=TU，∴PQ=UT，得证．例7.AB、