计算方法之计算矩阵的特征值 和特 征量.ppt

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1、1定义设A为n阶方阵，若存在常数与n维非零向量X使AX=X成立，则称为方阵A的特征值，非零向量X为A的对应于的特征向量。由AX=X(A-E)X=0此方程有非零解的充要条件是:

2、A-E

3、=0,即：——特征多项式方程。2在线性代数中按如下三步计算：1、计算出A的特征多项式│A-E│；2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i3、将i代入(A-iE)X=0求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i的全部特征向量。例求矩阵的特征值与特征向量3解：计算特征多项式方程，即解得A的两个特征值：

4、1=4，2=2。（1）1=4将1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=04取对应于1=4的基础解向量则对应于1=4的全部特征向量为：（2）2=2将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0取对应于2=2的基础解向量5方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n>4）时，将面临两方面的难题：（1）多项式的计算对舍入误差非常敏感；（2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。则对应于2=2的全部特征向量为：特征值的数值计算方法1、幂法：求按模最大特征值，即2、反幂法：求按模最小特征值，即3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值

5、和特征向量。6幂法是一种迭代法。基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得。如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0)，作迭代计算X(k+1)=AX(k)则可得迭代序列X(0),X(1),…,X(k),…，序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。7下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根8定理设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：

6、1

7、＞

8、

9、2

10、…

11、n

12、则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…）有：其中表示中的第j个分量。（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根9证明：因为A具有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,...,n）而任一n维的非零向量，如V(0)：总可以用Xi的线性组合来表示：V(0)=1X1+2X2+...+nXn（其中10）取V(1)=AV(0)V(2)=AV(1)=A2V(0)……10V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)以构成向量迭代序列。由矩阵特征值的定义有：

13、AXi=iXi（i=1,2,...,n）则有11同理可得：V(k+1)的第j个分量：V(k)的第j个分量：那么12由已知条件：故有：所以：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：（1）取一非零初始向量V(0)，如V(0)=(1,1,...,1)T（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)（3）当k充分大时取：13或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：（4）求1所对应的特征向量：由：可得：而：故：则V(k)即为所求对应1的特征向量。14例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量。（1）即初始非零向量V(0)（2）作迭代计算V(k+1

14、)=AV(k)：15最大特征值的计算：特征向量：V(11)16设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：

15、1

16、=

17、2

18、>

19、3

20、…

21、n

22、，设其中1>0,1=-2（二）按模最大特征值是互为反号的实根由迭代变换：17迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有则有：同理：（k充分大时）再由：可得：取18★规范化幂法运算由（1）当

23、1

24、>1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；（2）当

25、1

26、<1时，V(k)与V(k+1)的

27、各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0；上述两种情况都会导致计算结果不准确。19解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化，具体操作如下：（1）取U(0)=V(0)=1X1+2X2+...+nXn（非零向量），计算V(1)：V(1)=AU(0)=AV(0)（2）取U(1)：即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分量。其次计算V(2)：20（3）取U(2)：即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次计算V(3)：………………………………（k+1）取U(k)：21即用V(k)中绝对值最大的分量去除V

28、(k)中的所有分量。其次计算V(k+1)：计算过程总结如下:22由◆规范化幂法运算中的几种情况（一）按模最大特征值1是单实根，且1>0此时迭代向量序列{V(k)