矩阵特征值和特征-量

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1、南京师范大学泰州学院毕业论文摘要：特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，在理论学习和实际生活中有很重要的作用.本文主要讨论并归纳总结了特征值与特征向量的相关性质以及相关求法，通过实例展示了特征值与特征向量的相关应用。关键词：矩阵；特征值；特征向量；基础解系Abstract:Asanimportantpartofalgebra,EigenvalueandEigenvectorofaMatrixhaveveryimportantapplicationsintheoreticalstudyandpracticallife.Inthi

2、spaper,somepropertiesofeigenvalueandeigenvectorarediscussedandsummarized,itshowsthesuperiorityofeigenvalueandeigenvectorthroughexamples.Keywords:matrix；eigenvalue；eigenvector；systemoffundamentalsolutions1南京师范大学泰州学院毕业论文目录1绪论31.1研究背景31.2研究现状32特征值与特征向量42.1特征值与特征向量的定义42.

3、2特征值与特征向量的性质43特征值与特征向量的求法43.1矩阵特征值和特征向量的一般求法43.2乘幂法求特征值与特征向量53.3雅克比法求特征值和特征向量83.4法求特征值和特征向量114矩阵的特征值与特征向量的应用研究144.1阶矩阵的高次幂的求解144.2矩阵特征值求解矩阵元素的应用154.3常系数线性微分方程组中求解特征值的应用164.4阻尼自由振动中特征根求解的应用18总结21参考文献22致谢232南京师范大学泰州学院毕业论文1绪论特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论学习和实际生活有很重要的作用.本文主要讨论

4、并归纳了特征值与特征向量的相关性质，相关方法及相关应用.比如乘幂法，雅可比法和法求解矩阵的特征值和特征向量，列举了常微分齐次方程组求解特征根和特征向量等问题的一些应用.1.1研究背景矩阵是高等数学中的一个重要的基本概念之一,也是代数学的一个主要研究对象.矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该内容的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代

5、数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以解决物理中关于阻尼振动方面的问题，矩阵特征值与特征向量在求解数学中常微分线性方程组解方面也有其独特的应用.1.2研究现状已有很多专家学者涉足研究该问题.郭华、刘小明在2000年《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.汪庆丽在2001年《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法.岳嵘在2005年《由特

6、征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知阶对称矩阵的个互不相等的特征值及个特征向量计算出矩阵的计算方法.张红玉在2009年《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过阶方阵的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在2006年《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.3南京师范大学泰州学院毕业论文2特征值与特征向量2.1特征值与特征向量的定义定义：设是阶方阵，如果存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值

7、，是的对应特征值的特征向量.2.2特征值与特征向量的性质性质1如果都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当时,仍是的属于特征值的特征向量.性质2如果是矩阵的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则线性无关.性质3实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.3特征值与特征向量的求法3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法设是阶方阵的特征值，是属于的一个特征向量，则，将改写成，由上式可得，这表明，是齐次线性方程组（11.2）的一个非零解.方程组（11.2）的系数矩阵（11.3）定义11.2设是阶方阵，含有未知量的矩阵的行列

8、式（11.4）称为矩阵的特征多项式.一般的，阶方阵的特征多项式（11.4）等于，它是关于的一个次多项式.由（11.3）可见，矩阵的特征值是的特征多项式的一个根.进一步，我们可以证明定理11.1设是阶方阵，则是的特征值，是属于的特征向量的充分必要条件是:是的特征多