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时间:2019-07-11
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1、标准文档第五章 矩阵的特征值和特征向量来源:线性代数精品课程组 作者:线性代数精品课程组1.教学目的和要求:(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2.教学重点:(1) 会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 会将矩阵化为相似对角矩阵.3.教学难点:将矩阵化为相似对角矩阵.4.教学内容: 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念,在此
2、基础上讨论矩阵的对角化问题. §1 矩阵的特征值和特征向量 定义1 设是一个阶方阵,是一个数,如果方程 (1)存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量. (1)式也可写成, (2)这是个未知数个方程的齐次线性方程
3、组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程. 其左端是的次多项式,记作,称为方阵的特征多项式.实用文案标准文档 == =显然,的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,阶矩阵有个特征值.设阶矩
4、阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明(ⅰ)(ⅱ)若为 的一个特征值,则一定是方程的根, 因此又称特征根,若为方程的重根,则称为的重特征根.方程 的每一个非零解向量都是相应于的特征向量,于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下: 第一步:计算的特征多项式; 第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值; 第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组: 的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是 (其
5、中是不全为零的任意实数).例1 求的特征值和特征向量.解 的特征多项式为=实用文案标准文档所以的特征值为 当=2时,解齐次线性方程组得解得令=1,则其基础解系为:=因此,属于=2的全部特征向量为:.当=4时,解齐次线性方程组得令=1,则其基础解系为:因此的属于=4的全部特征向量为[注]:若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值. 例2 求矩阵 的特征值和特征向量.解 的特征
6、多项式为 == ,所以的特征值为==2(二重根),.对于==2,解齐次线性方程组.由 ,实用文案标准文档得基础解系为: 因此,属于==2的全部特征向量为:不同时为零.对于,解齐次线性方程组.由 , 得基础解系为:因此,属于的全部特征向量为:由以上讨论可知,对于方阵的每一个特征值,我们都可以求出其全部的特征向量.但对于属于不同特征值的特征向量,它们之间存在什么关系呢?这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用.对此我们给出以下结论: 定理1 属于不
7、同特征值的特征向量一定线性无关.证明 设是矩阵的不同特征值,而分别是属于的特征向量,要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.当>1时,假设时结论成立.由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此 如果存在一组实数使 (3)则上式两边乘以得实用文案标准文档 (4)另一
8、方面, ,即 (5)(4)-(5)有 由归纳假设, 线性无关,因此 而互不相同,所以.于是(3)式变为.因,于是.可见线性无关.课后作业:习题五 5-12 §2 相似矩阵 定义2 设、都是阶方阵,若存在满秩矩阵, 使得
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