欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:35938463
大小:787.55 KB
页数:12页
时间:2019-04-26
《矩阵地特征值与特征向量》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、实用文案第五章矩阵的特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量设是阶矩阵,是维列向量,则仍是维列向量,但通常与原来的向量有很大差异。现在考虑与能否成比例(对应分量成比例)。如果存在一个特殊的数与一个特殊的非零向量,使(5.1)那么称是矩阵的特征值,是的对应于特征值的特征向量。为了求矩阵的特征值与特征向量,将(5.1)式移项,并提取公因子得到(5.2)这是齐次线性方程组的矩阵形式,它的系数矩阵是方阵,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零(参看第一章的定理1.4),即(5.3)由(5.3)式可
2、求出特征值,因此方程(5.3)称为矩阵的特征方程。求得特征值后,就可以求解齐次线性方程组(5.2)了,具体做法是运用矩阵消元解法,对系数矩阵作初等行变换,然后读出基础解系。例5.1求矩阵的特征值和特征向量。解先计算行列式于是特征方程即一元二次方程。求得两个特征值为,当时,解齐次线性方程组(5.2),即作初等行变换最后的矩阵中,第1列是非主元列,于是读出基础解系。对应于特征值的全部特征向量是,是任意非零常数。当时,类似地作初等行变换读出基础解系,对应于特征值的全部特征向量是,是任意非零常数。标准文档实用文案
3、当是阶矩阵时,是阶行列式,其对角线上元素都含有未知数,而其他元素都是矩阵的对应元素的相反数,因此它的展开式是次多项式,称之为的特征多项式。相应地,称矩阵为的特征矩阵。特征方程(5.3)是次代数方程,它有个根(可能有重根或复数根)。齐次线性方程组(5.2)当满足(5.3)式时一定有基础解系。构成基础解系的特征向量称为矩阵的基础特征向量。如例5.1中的矩阵有2个基础特征向量和。基础特征向量的线性组合给出了全部特征向量。例5.2求矩阵的特征值和特征向量。解先解特征方程为了简化计算,可先将行列式的第3行加到第2行
4、,然后提取公因子,再计算行列式,可得方程,所以特征值是,。当时,对特征矩阵作初等行变换读出基础解系,当时,对特征矩阵作初等行变换读出基础解系对应于的全部特征向量是,其中是任意不全为零的常数;对应于的全部特征向量是,其中是任意非零常数。应该指出的是,线性组合必须在对应于同一特征值的基础特征向量之中进行,比如本例中当时,线性组合不再是矩阵的特征向量。例5.3求矩阵的特征值和特征向量。标准文档实用文案解先解特征方程得特征值,。当时,对特征矩阵作初等行变换读出基础解系。当时,对特征矩阵作初等行变换读出基础解系。全
5、部特征向量是(对应于)和(对应于),其中是任意非零常数。§5.2矩阵的相似与矩阵的对角化标准文档实用文案设、都是阶矩阵,若存在阶可逆矩阵,使得(5.4)则称与相似,或称经过相似变换变换成,记为∽。矩阵的相似具有以下性质:1.反身性:∽;因为,所以∽。2.对称性:若∽,则∽;∽意味着,等式两端左乘、右乘,得,所以∽。3.传递性:若∽,∽,则∽。由条件,,以前式代入后式得,即,所以∽。要判断两个矩阵、是否相似比较困难,因为很难直接找到(5.4)式中的变换矩阵。不过我们可以通过相似变换把、都变为比较简单的矩阵,
6、再通过传递性说明它们是否相似。最简单的矩阵莫过于对角矩阵。若矩阵能通过相似变换化为对角矩阵,则称矩阵可以对角化。对角化是指存在可逆矩阵、对角矩阵,使,即∽。例5.4将矩阵对角化。标准文档实用文案解在例5.1中,已求得矩阵的两个特征向量,(分别对应特征值,),按照(5.1)式,应有,,拼成矩阵即记,,即有,由于矩阵显然可逆,所以,矩阵已对角化。本例的结果可以直接推广到阶矩阵,设是阶矩阵,是的分别对应于特征值的个特征向量,它们可以拼成一个阶方阵。记,根据(5.1)式和矩阵的乘法规则,必有(5.5)若矩阵可逆,
7、则已对角化。阶方阵可逆与满秩是同一概念,而满秩即意味着列向量线性无关(参看第四章的(4.3)式)。然而特征向量并非总是线性无关的,不过我们从例5.1~例5.3能够猜测到以下定理:定理5.1方阵的所有基础特征向量线性无关。证明定理可在(4.2)式的基础上反复运用(5.1)式,因证明较长,此处从略。由于线性无关的维向量个数不会超过个(参看定理4.5),所以矩阵的基础特征向量的个数不会超过的阶数。根据(5.5)式及矩阵可逆的条件可得:定理5.2阶方阵可以对角化的充分必要条件是它的基础特征向量的个数等于。下面将矩
8、阵对角化问题作几点归纳:1.若矩阵的特征方程(5.3)没有重根,则一定可以对角化。这是因为每个特征值至少提供一个基础特征向量,个不同的特征值恰好提供个基础特征向量。2.若矩阵的特征方程(5.3)有重根,则可否对角化要看齐次线性方程组(5.2)的求解情况。当基础特征向量个数等于时,可以对角化,如例5.2;当基础特征向量的个数不足时,不可以对角化,即矩阵不可能与对角矩阵相似,如例5.3。3.如果矩阵可以对角化,那么相似变换矩阵由的
此文档下载收益归作者所有