矩阵地特征值与特征向量

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1、实用文案第五章矩阵的特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量设是阶矩阵，是维列向量，则仍是维列向量，但通常与原来的向量有很大差异。现在考虑与能否成比例（对应分量成比例）。如果存在一个特殊的数与一个特殊的非零向量，使（5.1）那么称是矩阵的特征值，是的对应于特征值的特征向量。为了求矩阵的特征值与特征向量，将（5.1）式移项，并提取公因子得到（5.2）这是齐次线性方程组的矩阵形式，它的系数矩阵是方阵，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零（参看第一章的定理1.4），即（5.3）由（5.3）式可

2、求出特征值，因此方程（5.3）称为矩阵的特征方程。求得特征值后，就可以求解齐次线性方程组（5.2）了，具体做法是运用矩阵消元解法，对系数矩阵作初等行变换，然后读出基础解系。例5.1求矩阵的特征值和特征向量。解先计算行列式于是特征方程即一元二次方程。求得两个特征值为，当时，解齐次线性方程组（5.2），即作初等行变换最后的矩阵中，第1列是非主元列，于是读出基础解系。对应于特征值的全部特征向量是，是任意非零常数。当时，类似地作初等行变换读出基础解系，对应于特征值的全部特征向量是，是任意非零常数。标准文档实用文案

3、当是阶矩阵时，是阶行列式，其对角线上元素都含有未知数，而其他元素都是矩阵的对应元素的相反数，因此它的展开式是次多项式，称之为的特征多项式。相应地，称矩阵为的特征矩阵。特征方程（5.3）是次代数方程，它有个根（可能有重根或复数根）。齐次线性方程组（5.2）当满足（5.3）式时一定有基础解系。构成基础解系的特征向量称为矩阵的基础特征向量。如例5.1中的矩阵有2个基础特征向量和。基础特征向量的线性组合给出了全部特征向量。例5.2求矩阵的特征值和特征向量。解先解特征方程为了简化计算，可先将行列式的第3行加到第2行

4、，然后提取公因子，再计算行列式，可得方程，所以特征值是,。当时，对特征矩阵作初等行变换读出基础解系，当时，对特征矩阵作初等行变换读出基础解系对应于的全部特征向量是，其中是任意不全为零的常数；对应于的全部特征向量是，其中是任意非零常数。应该指出的是，线性组合必须在对应于同一特征值的基础特征向量之中进行，比如本例中当时，线性组合不再是矩阵的特征向量。例5.3求矩阵的特征值和特征向量。标准文档实用文案解先解特征方程得特征值，。当时，对特征矩阵作初等行变换读出基础解系。当时，对特征矩阵作初等行变换读出基础解系。全

5、部特征向量是(对应于)和（对应于），其中是任意非零常数。§5.2矩阵的相似与矩阵的对角化标准文档实用文案设、都是阶矩阵，若存在阶可逆矩阵，使得（5.4）则称与相似，或称经过相似变换变换成，记为∽。矩阵的相似具有以下性质：1．反身性：∽；因为，所以∽。2．对称性：若∽，则∽；∽意味着，等式两端左乘、右乘，得，所以∽。3．传递性：若∽，∽，则∽。由条件，，以前式代入后式得，即，所以∽。要判断两个矩阵、是否相似比较困难，因为很难直接找到（5.4）式中的变换矩阵。不过我们可以通过相似变换把、都变为比较简单的矩阵，

6、再通过传递性说明它们是否相似。最简单的矩阵莫过于对角矩阵。若矩阵能通过相似变换化为对角矩阵，则称矩阵可以对角化。对角化是指存在可逆矩阵、对角矩阵，使，即∽。例5.4将矩阵对角化。标准文档实用文案解在例5.1中，已求得矩阵的两个特征向量，（分别对应特征值，），按照（5.1）式，应有，，拼成矩阵即记，，即有，由于矩阵显然可逆，所以，矩阵已对角化。本例的结果可以直接推广到阶矩阵，设是阶矩阵，是的分别对应于特征值的个特征向量，它们可以拼成一个阶方阵。记，根据（5.1）式和矩阵的乘法规则，必有（5.5）若矩阵可逆，

7、则已对角化。阶方阵可逆与满秩是同一概念，而满秩即意味着列向量线性无关（参看第四章的（4.3）式）。然而特征向量并非总是线性无关的，不过我们从例5.1～例5.3能够猜测到以下定理：定理5.1方阵的所有基础特征向量线性无关。证明定理可在（4.2）式的基础上反复运用（5.1）式，因证明较长，此处从略。由于线性无关的维向量个数不会超过个（参看定理4.5），所以矩阵的基础特征向量的个数不会超过的阶数。根据（5.5）式及矩阵可逆的条件可得：定理5.2阶方阵可以对角化的充分必要条件是它的基础特征向量的个数等于。下面将矩

8、阵对角化问题作几点归纳：1．若矩阵的特征方程（5.3）没有重根，则一定可以对角化。这是因为每个特征值至少提供一个基础特征向量，个不同的特征值恰好提供个基础特征向量。2．若矩阵的特征方程（5.3）有重根，则可否对角化要看齐次线性方程组（5.2）的求解情况。当基础特征向量个数等于时，可以对角化，如例5.2；当基础特征向量的个数不足时，不可以对角化，即矩阵不可能与对角矩阵相似，如例5.3。3．如果矩阵可以对角化，那么相似变换矩阵由的