最新计算方法之计算矩阵的特征值和特征量ppt课件.ppt

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1、计算方法之计算矩阵的特征值和特征量在线性代数中按如下三步计算：1、计算出A的特征多项式│A-E│；2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i3、将i代入(A-iE)X=0求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i的全部特征向量。例求矩阵的特征值与特征向量2解：计算特征多项式方程，即解得A的两个特征值：1=4，2=2。（1）1=4将1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=03下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根7定

2、理设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：1＞2…n则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…）有：其中表示中的第j个分量。（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根8证明：因为A具有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,...,n）而任一n维的非零向量，如V(0)：总可以用Xi的线性组合来表示：V(0)=1X1+2X2+...+nXn（其中10）取V(1)=AV(0)V(2)=AV(1)

3、=A2V(0)……9V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)以构成向量迭代序列。由矩阵特征值的定义有：AXi=iXi（i=1,2,...,n）则有10同理可得：V(k+1)的第j个分量：V(k)的第j个分量：那么11由已知条件：故有：所以：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：（1）取一非零初始向量V(0)，如V(0)=(1,1,...,1)T（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)（3）当k充分大时取：12或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：（4）求1所对应的特征向量：由：可得：而：故：则V(k)即为所求对应1的特征

4、向量。13例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量。（1）即初始非零向量V(0)（2）作迭代计算V(k+1)=AV(k)：14最大特征值的计算：特征向量：V(11)15设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,...,n)，且满足：1=2>3…n，设其中1>0,1=-2（二）按模最大特征值是互为反号的实根由迭代变换：16迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有则有：同理：（k充分大时）再由：可得：取17★规范化幂法运算由（1）当1>1时，V(k)与V(k+1)的各个不等

5、于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；（2）当1<1时，V(k)与V(k+1)的各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0；上述两种情况都会导致计算结果不准确。18解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化，具体操作如下：（1）取U(0)=V(0)=1X1+2X2+...+nXn（非零向量），计算V(1)：V(1)=AU(0)=AV(0)（2）取U(1)：即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有分量。其次计算V(2)：19（3）取U(2)：即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有分量。

6、其次计算V(3)：………………………………（k+1）取U(k)：20即用V(k)中绝对值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次计算V(k+1)：计算过程总结如下:21由◆规范化幂法运算中的几种情况（一）按模最大特征值1是单实根，且1>0此时迭代向量序列{V(k)}将正常收敛。22由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么也是对应1的特征向量。即可用U(k)作为所求对应于1的特征向量。由那么：23即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所求最大特征值1例用规范化幂法计算右面矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量24解：

7、取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：kV(k)U(k)max(V(k))0111111127495-18410.34672-0.67153244.4237714.84322-29.6426210.33413-0.6672744.42377344.9233314.97623-29.9504810.33337-0.6667044.92333444.9957214.99865-29.9972210.33334-0.6666744.99572544.9995914.99988-29.9997410.33333-0.666

8、6744.99959644.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953744.9995314.99983-29.9996810.33333-0.6666744.99953