三角形的重心定理及其证明.doc

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1、三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设中，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点.求证：AL、BM、CN相交于一点G，且图1AG﹕GL=BG﹕GM=CG﹕GN=2﹕1.证明1（平面几何法）：（如图1）假设中线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点.现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BD

2、CG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点.另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点.另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.这个点G被叫做的重心.证明2（向量法）：（如图2）在中，设AB边上的中图2线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，所以向量∥，所以，存在实数，使得，即所以，=同理，因为C、G、N三点共线，且

3、N是AB的中点.所以存在实数，使得=所以=又因为、不共线，所以所以，所以.因为L是BC的中点，所以===，即，所以A、G、L三点共线.故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL=BG﹕GM=CG﹕GN=2﹕1M证明3（向量法）（如图3）在中，BC的中点L对应于，中线AL上的任意一点G，有.同理，AB的中线CN上的任意点G′，，求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使.因此，我们令，，.解之得.所以.由对称性可知，第三条中线也经过点G.故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL=BG﹕GM=CG﹕GN=

4、2﹕1.