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1、蝴蝶定理及其证明[蝴蝶定理] 已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△SMD∽△CMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY； 又∵O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ ∴XM
2、=YM 还有一种解析几何法，给出了推广。 [推广] 二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P,则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM. 以M为原点，AB为x轴，S:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程：S+t(y-k1x)(y-k2x)=0.令y=0,得(A+tk1k2)x^2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标，则Fx^2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。
3、即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM).得证。蝴蝶定理 蝴蝶定理 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1
4、/2BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 ∵△AMD∽△CMB ∴AM/CM=AD/BC ∵SD=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT ∴∠MSX=∠MTY ∵∠OMX=∠OSX=90° ∴∠OMX+∠OSX
5、=180° ∴O，S，X，M四点共圆 同理，O，T，Y，M四点共圆 ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX ∴∠MOX=∠MOY， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM 这个定理在椭圆中也成立，如图 １，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。 （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。 求证：k１x１x
6、2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 求证：
7、OP
8、=
9、OQ
10、。 （证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形） 2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下： （18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 （Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1 焦点坐标为x代入椭圆方程，得b2x2+a2(
11、k1x-r)2=a2b2，1 （Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k 整理，得 (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0 根据韦达定理，得 x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/(b2+a2k12)， 所以x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2k1r① 将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得 x3x4/(x3+x4)=(r2-b2)/2k2r② 由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x
12、3+x4) 所以结论成立。 （Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。 由C，P，H共线，得 (x1-p)/(x4-p)=k1x1/k2x4 解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4) 由D，Q，G共线，同理可得 q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x
