蝴蝶定理的证明及推广

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1、校选课《数学文化》课程论文摘要蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。关键词：蝴蝶定理；证明；推广；一摘要蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。关于蝴蝶定

2、理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。[2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。9校选课《数学文化》课程论文在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题

3、传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。二蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。1带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线

4、的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则，于是。[1]证法2过作关于直线的对称点，如图3所示，则联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即9校选课《数学文化》课程论文而由、知，，故。证法3如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有，由上述两式相乘，并注意到得化简上式后得。[2]2不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法4（Steven给出）如图5，并令由，即化简得9校选课《数学文化》课程论文即，从而。证法5令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上

5、述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是，而，知，故。（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法6（单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为9校选课《数学文化》课程论文令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。[5]证法7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的

6、一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得，即。证法8如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即9校选课《数学文化》课程论文作于，作于。注意到由与可得将代入可得，即。9校选课《数学文化》课程论文二蝴蝶定理的推广和猜想（一）猜想1　在蝴蝶定理中,P、Q分别是ED、CF和AB的交点.如果P、Q分别是CE、DF和AB延长线的交点,我们猜想,仍可能会有PM=QM.推论1　过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结CE、DF并延长交AB的延长线于P、Q.求证:PM=QM.证明;设AM=BM=a,PM=x

7、,QM=y;∠PME=∠QMF=α,∠PCM=∠DFM=β;∠CME=∠DMF=γ,∠QDM=∠CEM=δ;记△PME,△QMF,△PMC,△QMD的面积分别为S1,S2,S3,S4.则由恒等式S2·S3·S4·S1=1知MP·MEsinαMQ·MFsinα·FQ·FMsin(π-β)CP·CMsinβ··MCsin(α+γ)·MDsin(α+γ)·DQ·DMsinδEP·EMsin(π-δ)=·DQ·MP2·EP·MQ2=1,即QF·QD·MP2=PC·PE·MQ2.②又由割线定理知PC·PE=PA·PB=(x-a)(x+a)=x2-a2,QF·QD=QB·QA

8、=(y-a