蝴蝶定理的证明与推广.doc

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1、蝴蝶定理（Butterflytheorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：1.M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2.圆可以改为任意圆锥曲线。3.将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。4.去掉中点的条件，结论变为一

2、个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， M不为中点时满足: ，这对2，3均成立。证明从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂线，设垂足分别为和。证明蝴蝶定理现在，由于从这些等式，可以很容易看出：由于 = 现在，因此，我们得出结论： ，也就是说，是的中点。