专题二第二讲 三角变换与解三角形.doc

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1、第二讲三角变换与解三角形一、三角变换与求值例1、分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。解法一：解法二：（从“名”入手，异名化同名）13解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先

2、降次）解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。二、正弦定理、余弦定理的运用例2、已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面积。解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。∵，∴=，又∵0°

3、105°时，B=60°，C=15°，点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。13例3、在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.解法一：∵sinA+cosA=cos（A－45°）=，∴cos（A－45°）=.又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.∴tanA=tan（45°+60°）==－2－.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=.∴S△ABC=AC

4、·ABsinA=·2·3·=（+）.解法二：∵sinA+cosA=，①∴（sinA+cosA）2=.∴2sinAcosA=－.∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=，∴sinA－cosA=.②①+②得sinA=.①－②得cosA=.∴tanA==·=－2－.（以下同解法一）13三、解三角形应用举例例4、如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA＝a（）（1）

5、试将△AGM、△AGN的面积表示为a的函数（分别记为S1与S2）；（2）求y＝的最大值与最小值。解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝，ÐMAG＝，由正弦定理得，则S1＝GM·GA·sina＝。同理可求得S2＝。（2）y＝＝＝72（3＋cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240，当a＝时，y取得最小值ymin＝216。13第二讲三角变换与解三角形班级____________姓名______________1、在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的_______

6、______条件.2、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于__________________.3、下列条件中，△ABC是锐角三角形的是_____________.①.sinA+cosA=；②.·＞0；③.tanA+tanB+tanC＞0④.b=3，c=3，B=30°4、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则______________.5、（2004春上海）在中，分别是、、所对的边。若，，，则___

7、_______6、在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.7、若ΔABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=__________.8、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β=________.9、计算=________。10、若，，求α+2β=______________.11、求值:sin10°sin30°sin50°sin70°=12、设a为第四象限的角，若，则tan2a=_________.13、（1）已知sin(x)=，0

8、________。（2）已知=_____________.14、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝____________.1315、已知函数（1）将函数化简成（，，）的形式；（2）求函数的值域.16、在中，内角对边的边长分别是，已知，．（1）