专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用.doc

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1、第二讲　三角恒等变换、解三角形及其应用1．(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝(　　)A.　　　　　　　　B．－C．－D.2．(2013·高考湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.B.C.D.3．若cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，则tan(x＋)等于(　　)A．－　　　　　　　　B．－2C.D．24．(2013·高考陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC

2、的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于(　　)A.　B.C.D．36．(2013·高考四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，B＝，sinC＝，则c＝________，a＝________．8．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C

3、相距31km的公路上的B处有一个人开车正沿着此公路向A驶去，行驶20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人从D处必须在20分钟内到达A处，则此人的行驶速度为________．9．已知函数f(x)＝tan.(1)求f的值；(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．10．(2013·青岛市质检)如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．11．(2013·高考重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋

4、ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．答案：1．【解析】选D.依题意得sin(θ＋)＝cosθ＝，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝，故选D.2．【解析】选A.在△ABC中，a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)．∵2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB.∴sinA＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝.3．【解析】选D.由cos(3π－x)－3cos(x＋)＝0，得tanx＝.所以tan(x＋)＝＝＝2.4．【解析】选B.∵bcosC＋cc

5、osB＝b·＋c·＝＝＝a＝asinA，∴sinA＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．5．【解析】选C.∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0.即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cosA＝＝，解得c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.6．【解析】∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈，sinα≠0，∴cosα＝－.又∵α∈，∴α＝π，∴tan2α＝tanπ＝tan＝tan＝.【答案】7．【解析】根据正弦定理得：＝，则c＝＝2，再由余弦定理得：b

6、2＝a2＋c2－2accosB，即a2－4a－12＝0，(a＋2)·(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．【答案】2　68.【解析】由已知得∠CAD＝60°，CD＝21，BC＝31，BD＝20，∴cosB＝＝＝，那么sinB＝，于是在△ABC中，AC＝＝24，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB解得AB＝35或AB＝－11(舍去)．因此，AD＝AB－BD＝35－20＝15，故此人在D处距A处还有15km，则此人的行驶速度为45km/h.【答案】45km/h9．【解】(1

7、)f＝tan＝＝＝－2－.(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②解得cos2α＝.因为α∈，所以cosα＝－，sinα＝－.所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝－×＋×＝－.10．【解】(1)∵S△DAC＝2，∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，∴sin∠DAC＝.∵∠DAC<∠BAC<π－＝，∴∠DAC＝.在△ADC中，由余弦定理，得DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，∴DC＝2.(2)∵A

8、B＝AD，B＝，∴△ABD为正三角形．在△ADC中，根据正弦定理，可得＝＝，∴AD＝8sinC，DC＝8sin(－C)，∴△ADC的周长为AD＋DC＋AC＝8sinC＋8sin(－C)＋4＝8