第二讲三角恒等变换与解三角形（教案）

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1、第二讲三角恒等变换与解三角形［考情分析］三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景,在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.年份卷别考查角度及命题位置2017I卷三角变换与正弦定理解三角形・t17II卷三角变换与余弦定理解三角形・t17III卷利用余弦定理解三角形及血积问题・Th2016II卷三角恒等变换求值问题・T9III卷三角恒等变换求值问题・A解三角形（正、余弦定理）・T$2015I卷三角恒等变换・t2解三角形-Tie［真题自检］1.(2016-高考全国

2、卷III)若tanu=#,则cos2a+2sin2a=()A輕B鏡a©口・25C.1解析：利用同角三角函数的基本关系式求解.2■一，3?cos°a+4sinacosa1+4tana因为tan则cos«+2sin2a=;2=~2—=4sinct十cosatana十131+4X才64故选A.答案：A2.（2016-高考全国卷I）己知&是第四象限角，且sin@+沪丰，则tan（0—沪解析:将扌转化为@+另_号・由题意知sin^+^）=

3、,&是第四象限角，所以cos@+3>0,所以cos@+3=寸1一sii?@+号=*.tagj（吩令-点4535451.(20

4、16-高考全国卷II)/ABC的内角力，B、C的对边分别为g,b,c,若cosM=§,cosC=yy,a=1>贝0b=.解析：先求出sin/,sinC的值，进而求出sinB的值，再利用正弦定理求b的值.因为％,C为lABC的内角,312所以sinA=§,sinC=yj,4-5•354}2=63l3=65-又67=1,所以由正弦定理得5=鲁罟=sinBsinA63655=n3=l3"4.（2015-高考全国卷I）在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75q9BC=2,贝ljAB的取值范周是所以sin5=sin(7r—J—C)=sin(/4+C)=

5、sinJcosC+cosAsinC=^X—+~X解析：如图所示，延长B4与CQ相交于点E,过点C作CF//AD交AB于点F,则BFVABVBE•在等腰三角形CFB中，ZFCB=30。，CF=BC=2,BE_2sin75o=sin30Q,c・・・BF=y）22+22-2X2X2cos30°=石一返在等腰三角形EC3中，ZCEB=30。,ZECB==5。,BE=CE,BC=2,・•・处=务=&+返2:.y[6~y[2

6、为益盲•(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△/BC的周长.解析：⑴由题设得严sinB=3；：n4,即2csin5=3^7-1cii-jA由正弦定理得^'sinCsin〃=益孑牙1.若tana=¥，且a是第四象限角，则cos2(a—^)+sin(37i—ct)cos(27t+a)+^cos2(ct+71)=(故sinBsinC=亍.(2)由题设及(1)得cosBcosC—sinBsinC=—即cos(B+C)=—所以B+C=扌，故力=孚］2由题设得㊁bcsin/=3s；；彳,即bc=8.由余弦定理得b［方法结论］三角函数

7、恒等变换“四大策略”⑴常值代换：特别是T的代换，1=si『0+cos2&=tan45。等；项的分拆与角的配凑：如sin2a+2cos2a=(sin%+cos%)+cos%,a=(a—ft)+0等;+c2~bc=9t即(b+c)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；弦、切互化：一般是切化弦.~3bc=9t得b+c=伍.故ZUBC的周长为3+^33.研乩点：：:析呱点题型突破考点一三角恒等变换A.C.V6Dl通解：因为a是第四象限角，tana=—¥，故°门"=-¥，由sin2«+cos2a=1可得cos2a=壬，cosa=?,LcosaL3s

8、+sin(3兀—a)cos(2兀+a)+¥cos2(a+7t)=siiFa+sinacosa+^cos2故选D.优解:因为a是第四象限角,tana=71??~29故cos~(q—㊁)+sin(37T—a)cos(27r+a)+亍cos°(a+7i)=sinFa+rzsin2a+sinacosa+^cos2atan2a+tanr、・1A/222221—tan2a+ISinQCOSG十oCOSa=—；5=■—277=T=T,故选D.2sina十cosatana+133答案：D2•(2017・蚌埠模拟)己知sin2a—2=2cos2a,则sin2a+sin2

9、a=即cosa=0或tana=2.当costana+2tana8』.2="2~Ii=W・综上，