专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形

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1、第2讲　三角恒等变换与解三角形自主学习导引真题感悟1．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝A．－　　　B．－C.　　　D.解析　利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∵2sinαcosα＝－，即sin2α＝－.又∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝＞0，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－.答案　A2．(2012·浙江)在△A

2、BC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知cosA＝，sinB＝cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．解析　(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC，所以tanC＝.(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝，由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化

3、简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．网络构建高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设＜α＜，sin＝，求的值．[审题导引]　解答本题的关键是求出sinα与cosα，观察所给的条件式会发现求sinα与cosα的方法有两个，一是利用角的变换，二是解关于sinα与cosα的方程组．[规范解答]　解法一　由＜α＜，得＜α－＜，又sin＝，∴cos＝.∴cosα＝cos＝coscos－sinsin＝.∴sinα＝.故原

4、式＝＝cosα＝.解法二　由sin＝，得sinα－cosα＝，①平方得1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0.由于＜α＜，故＜α＜.(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，故sinα＋cosα＝，②联立①②，解得sinα＝，cosα＝.∴原式＝cosα(1＋2sinα)＝×＝.【规律总结】sinα、cosα的求值技巧当已知sin，cos时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sinα＋cosα或sinα－cosα，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sinαcosα，根据同角三角函

5、数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sinα，cosα的值．或者把sinα＋cosα、sinα－cosα与sin2α＋cos2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sinα、cosα的值．[易错提示]　三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin2α＝求sinα的值时，sinα＝±中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sinα≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【变式训练】1．(2012·烟台一模)若α∈，且cos2α＋sin＝，则tanα＝A．1　　

6、　　B.　　　　C.　　　　D.解析　cos2α＋sin＝cos2α＋cos2α＝2cos2α－sin2α＝＝＝，即tan2α＝1.又α∈，tanα＞0，∴tanα＝1.2．(2012·南京模拟)已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cosα＝________.解析　sin＋sinα＝sinα＋cosα＋sinα＝sinα＋cosα＝sin＝－，∴sin＝－.又∵－＜α＜0，∴－＜α＋＜，∴cos＝，∴cosα＝cos＝cos＋sin＝.答案　考点二：正、余弦定理的应用【例2】　(2012·湖南师大附中模拟)

7、在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若cosA＝，a＝2，求△ABC的面积．[审题导引]　(1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B；(2)利用(1)的结果求b及c，利用公式求面积．[规范解答]　(1)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(B＋C)＝sinA.∵0＜A＜π，∴sin

8、A≠0，∴cosB＝.又∵0＜B＜π，∴B＝.(2)由正弦定理＝，得b＝，由cosA＝可得A＝，由B＝，可得sinC＝，∴S＝absinC＝×2××＝【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π