第2讲三角恒等变换及解三角形.(教师)doc

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1、黔江中学高2013级第二轮复习三角函数、平面向量和解斜三角形第2讲　三角恒等变换与解三角形一、考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．二、网络构建三、高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设＜α＜，sin＝，求的值．[审题导引]　解答本题的关键是求出sinα与cosα，观察所给的条件式会发现求sinα与cosα的方法有两个，一是利

2、用角的变换，二是解关于sinα与cosα的方程组．[规范解答]　解法一　由＜α＜，得＜α－＜，又sin＝，∴cos＝.∴cosα＝cos＝coscos－sinsin＝.∴sinα＝.故原式＝＝cosα＝.10黔江中学高2013级第二轮复习三角函数、平面向量和解斜三角形解法二　由sin＝，得sinα－cosα＝，①平方得1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝＞0.由于＜α＜，故＜α＜.(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，故sinα＋cosα＝，②联立①②，解得sinα＝，

3、cosα＝.∴原式＝cosα(1＋2sinα)＝×＝.【规律总结】sinα、cosα的求值技巧当已知sin，cos时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sinα＋cosα或sinα－cosα，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sinαcosα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sinα，cosα的值．或者把sinα＋cosα、sinα－cosα与sin2α＋cos2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sinα、cosα的值．[易错提示]　三角函数求值中要

4、特别注意角的范围，如根据sin2α＝10黔江中学高2013级第二轮复习三角函数、平面向量和解斜三角形求sinα的值时，sinα＝±中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sinα≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．考点二：正、余弦定理的应用【例2】　(2012·湖南师大附中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若cosA＝，a＝2，求△ABC的面积．[审题导引]　(1)把条

5、件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B；(2)利用(1)的结果求b及c，利用公式求面积．[规范解答]　(1)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(B＋C)＝sinA.∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB＝.又∵0＜B＜π，∴B＝.(2)由正弦定理＝，得b＝，由cosA＝可得A＝，由B＝，可得sinC＝，10黔江中学高2013级第二轮复习三角函数、

6、平面向量和解斜三角形∴S＝absinC＝×2××＝【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解题时可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.

7、考点三：解三角形与实际应用问题【例3】(2012·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：取tan41°＝)(1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东……度)．[审题导引]　据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、

8、余弦定理求解．[规范解答]　设乙船运动到B处的距离为t海里．则t2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos120°＝102＋202＋2×10×20×＝700，∴t＝10，又设∠ACB＝θ，10黔江中学高2013级第二轮复习三角函数、平面向量和解斜三角形则＝，＝，则sinθ＝＝0.65，∴θ＝41°，∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援．速度为5海里/小时．【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度