第二讲 三角变换与解三角形

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1、专题二：三角函数、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形【考纲解读】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。5．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量

2、和几何计算有关的实际问题。高频考点一：正、余弦定理的应用【命题预测】1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。方法指导：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进

3、行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2：【2012高考上海理16】在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝

4、角三角形D．不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三

5、角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。例2．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(I)求cosA的值;(II)求c的值.【答案】解:(I)因为a=3,b=2,∠B=2∠A.所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. (II)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. 在△ABC中,. 所以.例3．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）设△的内角所对的边分别为,且,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得, 又,,,所以,

6、解得,. (Ⅱ)在△中,, 由正弦定理得, 因为,所以为锐角,所以 因此.考点二：三角函数与解三角形的实际应用【命题预测】1．有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。2．该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。3．多以解答题的形式出现，题目为中档题。方法指导：1．审清题意，注意建立数学模型，找出相关三角形的边和角，灵活选用相关的三角函数的公式化简或求解。2.注意数形结合，函数与方程思想的运用等。例1．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分16分.

7、如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.(1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?CBA【答案】解:(1)∵, ∴∴, ∴ 根据得 (2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ∴

8、∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C 设乙的步行速度为V,则 ∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内【真题训练】一．选择题。（共40分）1．（2013年普通高等学校招