第六讲 三角变换与解三角形.doc

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1、个性化教学设计教案授课时间：2011年7月27日（8:00--10：15）备课时间：2011年7月24日年级：高二学科：数学课时：3学生姓名：课题名称第六讲三角变换与解三角形授课教师：曾先兵教学目标1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3．能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4．能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。5．掌握正弦定理、

2、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。6．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。教学过程一、三角公式1．同角三角函数基本关系式：sin2θ＋cos2θ＝1，tanθ＝.2．诱导公式：对于“k×±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：有奇变偶不变，符号看象限．(对于k×±α，k∈Z来说，奇、偶是指的k奇偶性；看象限是指把α当做锐角来看时，角k×±α，k∈Z所处于的象限)3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β

3、)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)＝(α，β，α±β≠kπ±，k∈Z)．4．二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.5．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ角的值由tanφ＝确定，φ角所在的象限由a，b的符号确定，也可以理解为φ角的终边过点(a，b)．二、正弦、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R，(其中R表示△ABC外接圆的半径)(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sin

4、A＝，sinB＝，sinC＝；(3)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．余弦定理：(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝；(2)b2＝c2＋a2－2cacosB，cosB＝；(3)c2＝a2＋b2－2abcosC，cosC＝.3．面积公式：(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝(其中R表示△ABC外接圆的半径)；(3)S＝r(a＋b＋c)1：三角变换及求值例1：已知向量,且(Ⅰ)求tanA的值

5、；(Ⅱ)求函数R)的值域例2(1)求值：；(2)已知α∈（，π），且sin＋cos＝.①求角α的值；②若sin(α－β)＝－，β∈（，π），求cosβ的值．（3）化简：2：正、余弦定理的应用例3：在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.3：三角函数的实际应用例4：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据

6、后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？例5某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图所示中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB＝2米，∠EOA＝∠FOB＝2x（0

7、例系数为k(k>0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．(1)试将y表示为x的函数；(2)试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？例6、在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值．(2)求sin2A－的值．例7设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin（＋B）sin（－B）＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12，a＝2，求b，c(其中b

8、角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．课堂练习1．计算的结果等于（）A