三角变换与解三角形.doc

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1、第2讲　三角变换与解三角形一、选择题1．(2010·福建卷)计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)A.B.C.D.解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.答案：B2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝(　　)A．－B.C．－D.解析：sin2θ＋sinθ·cosθ－2cos2θ＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.答案：D3．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)A．75°B．60°C．45°D．30°解析：由题知，×4×3×sinC＝3，∴sinC＝.又0<

2、C<，∴C＝.答案：B4．(2010·威海模拟)已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>0)的两根为tanα、tanβ，且α、β∈，则tan的值是(　　)A.B．－2C.D.或－2解析：∵a>0，∴tanα＋tanβ＝－4a<0，tanα·tanβ＝3a＋1>0，又∵α、β∈，∴α、β∈，则∈，∴tan(α＋β)＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝，整理得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2或(舍去)．故选B.答案：B5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成

3、的正方形所组成．该八边形的面积为(　　)A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－cosα＋3C．3sinα－cosα＋1D．2sinα－cosα＋1解析：等腰三角形的面积为×1×1·sinα＝sinα，等腰三角形的底边长为a＝＝，所以八边形面积为：4×sinα＋a2＝2sinα＋2－2cosα.答案：A二、填空题6．(2010·北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.解析：由正弦定理＝，即＝，sinB＝，又b

4、(sinB＋cosB)＋cosC＝0，则∠A＝________.解析：由题意得cosA(sinB＋cosB)－cos(A＋B)＝0，整理得sinB(cosA＋sinA)＝0，因为sinB>0，所以cosA＋sinA＝0，tanA＝－1，又A∈(0，π)，所以∠A＝.答案：π8．某工程设计员为了测量某地的地势，向正东方向走了x千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，这时他距离出发点恰好为千米，则x的值为________．解析：如图，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，故∠CAB＝6

5、0°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝2；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，故AB＝.答案：2或9．(2010·江苏卷)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析：∵＋＝6cosC，由余弦定理得＝6·，∴a2＋b2＝c2，∴＋＝＝·＝＝＝＝4.答案：4三、解答题10．(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC

6、＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.因为0°

7、及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.因为－π0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴

8、间距为π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f＝，求的值．解：(1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋sinωx)＝＋＝sin＋根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，又ω>0，所以ω＝(2)由