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1、苏教版教材一道操作题的探究与发现■中学数学论文苏教版教材一道操作题的探究与发现余金荣胡燮（无锡市堰桥中学，江苏无锡214174）摘要：文章由苏教版教材中的一道操作题提出问题，引发思考，利用常微分方程中的包络和平面几何的相关知识解决了提出的问题，并且收获了利用产生圆锥曲线的新方法作圆锥曲线切线的方法和圆锥曲线光学性质的证明方法。关键词：克莱罗方程；包络；圆锥曲线中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351（2013）-12-0057-01苏教版高中数学选修2-1第二章《椭圆的标准方程》节的探究拓
2、展中给岀了这样一道操作题:准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起，使圆周过点F,然后将纸片展开，就得到一条折痕I（为了看清楚，可把直线I画出来X这样继续折下去，得到若干折痕。观察这些折痕的轮廓，它们形成了什么曲线？把这个操作题进行抽象,实际上可以转化为如下问题：点F为OC内不同于点C的任意一定点，点P在OC上移动z动直线I为线段FP的垂直平分线z请问动直线I围成的轮廓是什么图形？动直线I围成的轮廓无疑是以圆心C和走点F为焦点的椭圆。笔者对此问题颇感兴趣，提出以下两个问题：问题1：实验可以给我
3、们直观的感觉，能否证明动直线I围成的轮廓为椭圆呢？问题2:若该轮廓为一椭圆，它是满足什么条件的动点的轨迹呢？能否给出证明？为了硏究解决这两个问题，给岀以下定义和引理：定义1:形如y二xy‘+cp（y‘）的方程称为克莱罗（clairuaut）方程，这里cp是二次可微函数，且0工0。定义2:如果方程存在某一解,在它所定义的积分曲线上每点处,解的唯一性都被破坏,则此解为微分方程的奇解。定义3:设曲线族（c）:O（x,yzc）=0（c为参数），若存在一条连续可微曲线L,它不属于（c）,但L上每点处都有（c）中的一条曲线
4、和它在此点相切，则称曲线L为曲线族（c）的包络。由此，问题1即阐述为：判断由所有动直线I组成的曲线族（c）的包络L是否为椭圆。文［1］利用克莱罗方程的奇解证明了以下引理：引理：已知一条曲线，若两定点到该曲线上任意一点的切线的距离之积为常数b2（b0）,则该曲线为椭圆或者双曲线。通过以上引理和证明过程不难发现，动直线I组成的曲线族（c）的包络若是椭圆（双曲线）,则其焦点到动直线的距离之积为定值b2（其中b为椭圆（双曲线）的短半轴长（虚半轴长）L关于问题1和问题2的硏究,以定理的形式给岀：定理点F1为OF2内（外）
5、不同于点F2的任意一定点，点P为OF2上的动点,动直线I为线段F1P的垂直平分线（记为曲线族（c））,则曲线族（c）的包络为以点Fl,F2为焦点、OF2的半径为长轴长（实轴长）的椭圆（双曲线该包络就是直线PF2与动直线I交点的轨迹。证明：如图1建立平面直角坐标系，记OF2与x轴的两交点为点R,S,线段PF1的中点为点M,延长PF1交OF2于点Q;过点F2作F2N±I，垂足为点N;连结PF2,F2Q，取PQ的中点H,连结F2H,则有PH=12PQ=1/2(F1Q+2PM)=1/2F1Q+PM=MH+PM,所以F
6、1Q=2MHO又PF2=QF2，点H为PQ的中点,所以F2H丄PQ。又l±PM,F2N±I,所以四边形F2NMH为矩形，则MH二F2N,于是F1Q=2F2NO设OF2的半径为2azFlF2=2c(点Fl在OF2内时，显然acO)用2・c2=b2,则由圆中的相交弦定理可得,FlPFlQ=FlR-FlS=(2a・2c)-(2a+2c)=4(a2・c2),则FlM-F2N=a2・c2二b2。由引理及其证明可知，曲线族(c)的包络为以FlzF2为焦点、OF2的半径为长轴长的椭圆，其方程为x2a2+y2b2=l(aO,b
7、OX连结PF2交直线I于点K,则有F1K=PKZ所以F1K+F2K二PK+F2K=2a,于是点K的轨迹为以FlzF2为焦点、OF2的半径为长轴长的椭圆，其方程为X2a2+y2b2=l(aO,b0)z即曲线族(c)的包络即点K的轨迹。关于〃双曲线"的相关结论的证明类似，这里不再重复。从图1中易证明OM=ON二a,因此彳导到:过椭圆的两个焦点FlzF2向椭圆的切线引垂线，垂足分别为点M,N,则点M,N均在以椭圆的中心为圆心、椭圆的长半轴长为半径的圆周上。于是有:推论：设OO的半径为a,点Fl,F2为的某一直径上关于
8、圆心对称的两点，记FlF2=2c（显然acO）,过点Fl,F2做一组平行线分别交G）O于点M,N（在直径的同侧），所有动直线MN记为曲线族（c）,则曲线族（c）的包络为以点Fl,F2为焦点、a为长半轴长的椭圆，且FlMF2N=a2・c2。注：由推论结合几何画板等软件可以得到一种生成椭圆的方法，而且通过上述探索过程发现我们可以用尺规作图的方法作出椭圆的切线,步骤如下：步骤一:如图2所示，
