一道学具操作题引发的思考

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1、对一道学具操作题的分析与思考江西省南昌市育新学校骆文娟在一次数学操作课中,为培养学生动手操作能力,我布置了以学具操作为背景编制题目的作业,在学生的习作中,发现了一道关于量角器滑动的操作题,我将它整理成题后,经过思考,从中发现了一些有数学规律的结论.[学具操作题]:操作与探究:如图,OM⊥ON于O,∠NOB=30°,量角器的直径PQ=8㎝,Q在0°刻度线的外端上,P在180°刻度线的外端上，A是60°刻度线外端上的点,将直径PQ如图1放置在射线ON上,使P与O重合；当Q沿NO向O滑动,P随之沿射线OM滑动,当Q滑至O点时,量角器

2、停止滑动.(1)量角器在上述滑动过程中,点A都在射线OB上运动吗?请你利用图2说明你的理由；(2)当∠QPO=30°时,求AO的长度；请你继续完成下面的探索:(3)下面两小题任选一题,选①做对得3分,选②做对得4分.①在量角器的上述滑动过程中,当∠APO何值时,AO有最大值和最小值,并求出AO的最大值和最小值；②量角器的点Q由图1的初始位置滑动到与点O重合时,称为量角器的一次“完整滑动”,求在量角器的一次“完整滑动”中，点A运行的总路程之和.MQ图1NBAO(P)图2MNQBAOPO(P)NBM备用图思路点拔:(1)由于:则点

3、O在以PQ为直径的圆上.补全圆.⌒AQ为60°,∴=又∵∠NOB=30°∴点A在OB上运动.(2)设OA.和PQ相交于K先证PQ⊥OA.则OA=2OK.由PO=8cos30°=,可得OK=,故OA=2OK=.5/5(3)选①当∠APO=90°时,OA=8最长,当∠APO=30°时,OA=4最短.选②在图1中求得PA=PQcos30°=.在图3中,当∠APO=90°时,OA=8最长,在图4中,当∠APO=30°时,OA=4最短.点Q运动到O时,A的位置由图1到图3,再到图4.MPNBAOQA的运行的总路径之和为(8－)＋(8－4

4、)=12-.MNBAO(Q)P图4OABP图3[思考一]:在上题中,如图5,若A是n°刻度线外端上的点,∠NOB=°其它条件不变,则在量角器的一次“完整滑动”中,求点A运行的总路程之和.思路点拔:在量角器的一次“完整滑动”中,A都在射线OB上运动,当∠APO=90°时,OA=8最长,图52MNQBAOP当Q滑至O点,直径PQ在射线OM上时,∠APO=°,OA=8sin°最短.A在初始位置时,OA=8cos°A的运行总路径之和为［8－8cos°］＋［8－8sin°］=16-8cos°－8sin°.结论:①在量角器的一次“完整滑动

5、”中，量角器n°刻度线外端上的点总在一条对应的固定直线上运动；②这点运行的的总路程之和为：量角器的直径长的2倍与这点到直径两端点距离和的差,即：16-8cos°－8sin°．5/5[思考二]：把量角器换成含30°的直角三角尺,会有什么结论呢?操作与探究:如图6，在平面直角坐标系中，含30°的直角三角尺的斜边AB在y轴的正半轴上，直角边AC在射线OP上，且顶点A与原点重合.已知AB=c，∠B=30°,当顶点A从原点O沿x轴的正方向滑动时，顶点B也同时沿y轴向原点O移动，待B与O重合时，直角三角尺滑动结束，直角三角尺的点B由图6的

6、初始位置滑动到与点O重合时,称为直角三角尺的一次“完整滑动”.ByxOC(A)P图6问在直角三角尺的一次“完整滑动”过程中，顶点C是否总在射线OP上运动？若在，请加以证明，并求出它一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和；若不在，请说明理由.yxOBCA图7y思路点拔:在图6中可求出直线OP的解析式为.在图8中设C(m,n),作CG⊥x轴于G,CM⊥y轴于M.则CG=n,CM=m.GMC(m,n)ABOx图8易证△BMC∽△AGC,得,可得,则,得C(m,),故点C在始终在直线OP上运动.当CA⊥x轴时,此时四边形OACB是矩形

7、,OC=AB=c最长,当顶点B和原点O重合时,斜边AB落在x轴上,OC=最短.在图6中OC=,则的顶点C在一次“完整滑动”过程所运行的总路程之和为(5/5结论:①含30°的直角三角尺的斜边长为c,在一次“完整滑动”中，直角顶点始终在一条对应的固定直线上运动；②直角顶点所运行的总路程之和为：斜边长的2倍与两直角边的和的差,即：.[思考三]：把含30°的直角三角尺换成一个任意的直角三角形,又会有什么结论呢?操作与探究:如图9，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边AB在y轴的正半轴上，直角边AC在射线OP上，且顶点A与原点重合.已知

8、AC=b，BC=a,AB=C,当顶点A从原点O沿x轴的正方向滑动时，顶点B也同时沿y轴向原点O移动，待B与O重合时，直角三角形滑动结束，直角三角形的点B由图9的初始位置滑动到与点O重合时,称为直角三角形的一次“完整滑动”.ByxOC(A)P图9问在直角三角形的一次“完整滑动”