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1、一道例题的探究与引申安徽工业大学附属中学倪晋升问题：已知a>0,b>0,q+b=1.求证：ja+*+Jb+*S2;简作《导与练》）•••Va+2这是《高中同步练习-一导与练（高二上册）》（陕西人民教育出版社，2006年版；以下上P9的例1；该书给出的解法如下：…］、」"冷3b1O+产于蔦+〒Jfe+-<-+-+-+-=2.V24242探究：下面这种解法为何错了？相信人部分教师在讲不等式证明时都做过此题，而且用多种方法。《导与练》给出的方法无疑利用均值不等式来证明。看了《导与练》上的方法让我很快想到了下列方法：/z1114+a+
2、b1—挣——）辛V222显然，-V2>2,出现了错谋，同样利用均值不等式，但得不到原题的答案，那么它错在2哪里？下面分析一下错误的原因：首先，我们知道均值不等式“瓯5凹”的运用必须具备三个条件即“一止，二定,2三等”，对于《导与练》上给出的参考答案：
3、I1I1~1+d—]1J1-(6Z+-)<；当且仅当1=。+-时，即d=-时，等号成立；V2222Ii_[+b—]等号成立;1.@+丄)5;当且仅当l=b+丄时，V222显然Q+b=1与原题所给的条件-•致。而笔者给III的方法仔细分析冇以下错误：等号成立;Ij~2+d—1j2-
4、(a+-)<:当且仅当2=°+-吋，V222Ir2+/?+
5、1等号成立;J2.(Z?+-)<;当且仅当2=b+-时，V222显然a+b=3与原题所给的条件。+b=1矛盾。因此就找到了错谋的原因，这种解法是不符合均值不等式的第三个条件“等”，也就是说在“凑”定值时是不能随意“凑”的。引申1：己知d〉0,b〉0,c〉0,°+b+c=1.求Jq+—4-jb+—+x/c*+—[I勺最人值o探究1：不通过计算，你能猜测出最大值吗?通过上述对《导与练》的例1的探究后，对于这道引中题，笔者凭着对均值不等式的运用必须具备三个条件大胆猜测,此题
6、的答案是呼;理由是:此式取得最人值时，等号一定成立；只有当即a=b=c时等号成立，而又因为戒+cJ—冷时,取得最大值;—冷代入那么这种猜测是否正确,探究2：“凑”数有技巧吗?下而来验证一下。本题若用均值不等式解，首先解决的是“凑”数问题，显然“凑1”即,[1IrIj~]+a—3a+_=l・(a+—)S2是不对的，不对的原因是此时Q+b+c=—与V2V222a+b+c=l.矛盾，也就是不符合均值不等式的第三个条件“等”；那么怎样“凑”数，笔者给出如下的技巧供参考：由探究I已猜测—吕时，取得最大值,当+于是笔者猜测应“凑”下而来证
7、明这两次猜测的正确性:517-+Q+-662.52'…-55z—_•(&+—)<62当且仅当二=°+丄即a=-0t等号成立“亠35.1—+b+-62.同理:/?+
8、=615V30~1~1，当H仅当a=b=c=-时，取得最大值必。12由此可以看出两次猜测都是正确的。推广1：已知。［，色宀，都为正数，R为真分数，且+a2+a3++%二1,则Jd[+k++k+…+yjan+k<〃卩+"*=Jn+rt'k(nwN»)~Vn证明略。引申2：《导与练》给出了如下的变式练习:已知a>0,Z?>0,c>0,a+b+c=1.求证+2+』3b+2
9、+>/3c+2<6；探究：能否将范步缩小？即能否将“V”改为?对于该变式练习的结论是正确的，但笔者认为“小于6”的范围过大，本题的范围可以进一步压缩。显然，根据这个结论，编者是想读者用以下方法：•・・如+2=Jl•(3a+2)<1+3^/+2;j3b+2=Jl.(3b+2)sl+3'+2j3c+2=Jl・(3c+2)Wl+3c+22>/3d+2+加+2+如+2<凹=6;2显然，等号不能成立,即如+2+73&+2+』3c+2<6;根据探究1,探究2可修改为：如+2+加+2+j3c+2<3^3;证明如下：・・・如+2=士J3•(3
10、°+2)W芈•立丸；Q3y/32当且仅当3=3°+2即°=丄时，等号成立.当且仅当a=b=c=-tii,等号成立.推广2：已知a】"卫3,4都为正数,k},k2WN*,且4]+。2+。3++(2n=1，则证明略。n
