对一道高中会考题的引申和探究

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1、8一l6数学教学2012年第8期对一道高中会考题的引申和探究314000浙江省嘉兴市第一中学王剑明题目(2011年浙江省普通高中会考第解析：若存在一点N(n，0)(n>r)，则kAN41题)如图1，圆与Y轴相切于点T(0，2)，+kBN=0．与轴正半轴相交于M、Ⅳ两点f点在(i)当直线AB与z轴不垂直时，设直线点Ⅳ的左侧)，且lMⅣf=3．AB的方程为Y=k(x—m)，由{x-m得『、、(1+k2)x2—2mk2x+~t2k2一r2：0．因为过点M的直线与圆(二)交于两点，所／／～以上述方程有两实根．设A(xl，y1)、B(x2，y2)，可得／Ⅳ／-一／，72mk2m2k2——r2z1+2

2、=，12=‘因为kA』v十BⅣ：—一+—图1k[(xl一仃})(2一n)+(X2一仃)(z1一n)](Xl—n)(2一n)(1)求圆的方程；=0．f2)过点任作一条直线与圆D：X2+而(Xl—m)(x2一n)+(X2一m)(xl一礼)Y2=4相交于、B两点，连结AⅣ、BN．求证：／ANM=BNM．=2XlX2一(m+礼)(zl+X2)+2mn这是一道颇具美感、难易适中的好题．该2m2k2—2r22(m上n)mk===⋯1+21+后2题的第(2)小题证明角相等，具有很强的几何2ran-2r2韵味，其背后，是否蕴藏着更深的数学规律呢?：—l：0，+21．问题推广的初步探究2问题1如图2，已知圆

3、o：+Y2=r2，所以礼=．过点M(m，0)(0r．交于、B两点，在轴上是否存在一点(ii)当直线B上轴时，AⅣ=N(n，0)(n>?')，连结Ⅳ、BⅣ，使得AⅣ／BNM成立．所以由(i)、(ii)可知，存在点Ⅳ，：BⅣM?使得AⅣM：BNM．色I问题2如图3，已知椭圆：+：1(a>b>0)，过点M(m，0)(0n)，连结Ⅳ、BⅣ，使得AⅣM=BNM?—．一解析：若存在一点N(n，0)(佗>r)，则kAN图2+kBN=02012年第8期数学教学8一

4、lJl一＼NA／～＼0／／N3．B／o·；图4图3(i)当直线AB与X轴不垂直时，设直线(i)当直线AB与X轴不垂直时，设直线AB的方程为Y=k(x—m)，AB的方程为Y=(—m)，由{lY=(—m)，由tfYx2：+(y2—：m1)，得zY得【一一f62—010+2竹n一0”2_a2b2：fa2k+6x22ma。x+am~g2-ab：0．0因为过点M的直线与双曲线的右支交因为过点M的直线与椭圆交于两点所于两点，所以上述方程有两实根．以上述方程有两实根．设(1，Y1)、B(x2，y2)，可得1+4-X2=2m02202m22+02b2设A(xl，y1)、B(x2，y2)，可得Xl+X2=2

5、m02后202m2后2一a2b2a2k2一b2’XlX2=a2k2一b2’—a2k2—+b2，==：—’因为IgAN+kBN=1+Xl一佗X2一佗因为Ⅳ+BⅣ一—一十_丝k[(xl—m)(x2一n)+(X2一m)(xl一礼)]Xl—nx2一佗一k[(Xl—m)(2一扎)+(X2一m)(xl一礼)】(Xl—n)(x2一n)一(Xl—n)(x2一佗)=0．=0．而Xl—m)(x2一n)+(X2一m)(Xl—n)而(Xl—m)(x2一n)+(X2一m)(Xl一佗)=2XlX2一(m+n)(xl+X2)+2ran=2a2m2k2+2a2b22(m+n)ma2k2+X21+2mn=—一—2xlx2一

6、fm+n)(Xl一+2mn2n2m22—2a2b22202—602=—62⋯⋯2(m+n)mak．．．．．．．．-．．．．．．．．．．——+2ran2mnb2+2a2b2a2k2+b2．a2k2+b2——=0．2mnb2——2a2b2a2k2一b2’：一a2k2+b2=0．所以n=．‘。所以礼=兰-．．m>a．．‘．0a．BNM成立．(ii)当直线AB上z轴时，AⅣM=由(i)、(ii)可知，存在点Ⅳ，使得ⅣMZBNM成立．=BNM．由(i)、(ii)可知，存在点Ⅳ，使得ⅣM问题4如图5，已知抛物线：Y2==／BNM．2

7、px>0)，过点M(m，0)(仇>0)任作一问题3如图4，已知双曲线C：一：a‘O‘条直线与抛物线相交于、B两点，在X轴1(a>0，b>0)，过点M(m，0)(m>a)任作一上是否存在一点N(n，0)，连结Ⅳ、BN，使条直线与双曲线的右支相交于、B两点，得ANM一BNMf：在x轴上是否存在一点N(n，0)，连结AⅣ、解析：若存在一点N(n，0)，则kAN+kBⅣBⅣ，使得AⅣM=／BNM?=0．解析：若存在一点N(n，0