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1、极坐标、参数方程题型总结 极坐标、参数方程题型总结 一、大纲要求1.了解坐标系的作用。 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3．能在极坐标系中给出简单图形的方程。 4.了解参数方程，了解参数的意义。 5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。 二基础知识1.把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y
2、)和(ρ，θ)，则或。 2.若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为rρ＝r； (2)当圆心位于M(a,0)，半径为aρ＝； (3)当圆心位于M(,)2a?，半径为aρ＝.3.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴ρco
3、sθ＝a； (3)直线过M(b，π2)且平行于极轴ρsinθ＝b.4.常见曲线的参数方程的一般形式 （1）圆心在坐标原点，半径为r圆的参数方程为圆心在(,)ab，半径为r圆的参数方程为 (2)椭圆的参数方程为 （3）抛物线y2＝2px的参数方程为?????x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)． （4）在直线的参数方程?????x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中， (1)t的几何意义是什么？ (2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P 1、P2的距离？t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点
4、P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．
5、P1P2
6、＝
7、t1－t2
8、＝?t1＋t2?2－4t1t2.5.两个结论已知点1122(,),(,)AB???? （1）ABOS?? （2）
9、
10、AB? 三、题型归纳题型一参数方程化普通方程例1.已知直线:?ttytx(.23,211?????????为参数),曲线:1Ccos,sin,xy???????（?为参数）.（Ⅰ）设?与1C相交于BA,两点,求
11、
12、AB；（Ⅱ）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C,设点P是曲线2C上的一个动点,求它到直线?
13、的距离的最小值.解.（I）?的普通方程为1),1(3Cxy??的普通方程为.122??yx联立方程组?????????,1),1(322yxxy解得?与1C的交点为)0,1(A,)23,21(?B,则1
14、
15、?AB.----------5分（II）2C的参数方程为???(.sin23,cos21????????yx为参数).故点P的坐标是)sin23,cos21(??,从而点P到直线?的距离是]2)4sin(2[432
16、3sin23cos23
17、??????????d,由此当1)4sin(?????时,d取得最小值,且最小值为)12(46?.
18、---------10分训练1.已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C:?=4sin?上任一点，点P满足3OPOM?．设点P的轨迹为曲线Q． （1）求曲线Q的方程； （2）设曲线Q与直线,:xtlyta???????（t为参数）相交于A、B两点，且
19、AB
20、=4．求实数a． （1）设11(,),(,)PxyMxy，222224sin,4, (2)4xyyxy???????????Q，①?3OPOM?,??????1133yyxx则111313xxyy?????????，代入①得，22 (6)36xy???，?
21、点P轨迹方程为22 (6)36xy???.……5分 （2）将,(xttyta???????为参数)化为普通方程得0xya???，由 （1）知曲线Q是圆心为(0,6)N,半径6r?的圆，?圆心N到直线l的距离
22、6
23、2ad??.?222
24、6
25、622a?????????,解得2a??或14.……10分2.曲线Ccos(sinxy????????为参数）曲线D222(22xttyt??????????为参数）。 （1）指出曲线C、D分别是什么曲线？并说明曲线C与D公共点人的个数。 （2）若把曲线C、D上各点的纵坐标压缩为原来的21倍，分
26、别得到曲线C 1、D1，请写出曲线C 1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C、D公共点是否相同？3.点P为椭圆C4cos(23sinxy??????????为参数）上一点，若3OP
