傅里叶变换和频域于分析.ppt.ppt

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1、10/5/20211西北师范大学物理与电子工程学院3第三章傅里叶变换和系统的频域分析频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,17

2、68-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号等问题的分析就很显不足。FFT为傅里叶分析法赋予了新的生命力。本章主要内容：本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质

3、的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章学习目标：掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换分析法，能对常用信号进行频域分析熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关系理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱掌握系统的频域分析法理解并应用抽样信号和抽样定理傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫

4、利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点3.1正交函数的概念一、正交函数集从高等数学中我们知道，在区间(t1,t2)定义的两个函数f1(t)、f2(t)，若二者的乘积在区间(t1,t2)的积分等于零时，即当(1)时，称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。在区间(t1,t2)的两个复变函数f1(

5、t)、f2(t)若满足(2)则称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。其中，f*(t)是f(t)的共轭函数。设有n个函数f1(t),f2(t),…,fn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下的正交特性(3)则称此函数集为正交函数集。如果是复变函数集{fn(t)}(n=1,2,…)在区间(t1,t2)满足(4)则称此复变函数集是正交函数集。如果在正交函数集f1(t),f2(t),…,fn(t)之外，不存在函数y(t)满足等式(i=1,2,…,n)则称此函数集为完备正交函数集

6、。二、三角函数集考察函数集{1,cosω0t,cos2ω0t,…,cosnω0t,…,sinω0t,sin2ω0t,…,sinnω0t,…}在区间(t0,t0+T)上的特性，发现它是完备的正交函数集。这是因为(对于所有的m和n)(5)(6)(7)三、复指数函数集函数集{ejnω0t}(n=0,±1,±2,…)在区间(t0,t0+T)上也是完备的正交函数集。它在区间(t0,t0+T)满足(8)3.2傅里叶级数任意一个周期为T的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫利条件：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类

7、间断点；(2)在一个周期内只有有限个极大值或极小值。则f(t)可以展开为：一、三角形式的傅里叶级数(1)直流系数余弦分量幅度正弦分量幅度将式(1)中同频率正弦项和余弦项合并，有（2）（3）各参数间的关系为：(1).(2).(3)式表明任何周期信号,只要满足狄里赫利条件,都可分解为直流和各次谐波分量之和。其中：第一项c0是常数项，它是f(t)在一周期内的平均值，表示周期信号所具有的直流分量;式中第二项c1cos(ω1t+φ1)称为基波或一次谐波，它的角频率与周期信号的角频率相同，c1是基波振幅，φ1是基波初相

8、角;式中第三项c2cos(2ω1t+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，c2是二次谐波振幅，φ2是二次谐波初相角。依此类推，还有三次、四次、……谐波。一般而言，ckcos(kω1t+φk)称为k次谐波，ck是k次谐波振幅，φk是其初相角。二、指数形式的傅里叶级数由欧拉公式可以将三角形式的傅里叶级数表示成在运算上更为方便的指数形式：指数形式的傅里叶级数的系数引入了负频率所以：两