傅里叶变换与系统的频域分析

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1、第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.1信号分解为正交函数一、正交函数集二、信号分解为正交函数4.2周期信号的傅里叶级数一、周期信号的分解二、奇、偶函数的傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式4.3周期信号的频谱一、周期信号的频谱二、周期矩形脉冲的频谱三、周期信号的功率4.4非周期信号的频谱一、傅里叶变换二、奇异函数的傅里叶变换点击目录，进入相关章节4.5傅里叶变换的性质一、线性二、奇偶性三、对称性四、尺度变换五、时移特性六、频移特性七、卷积定理八、时域微分和积分九、频域微分和积分十、相关定理4.6能量谱和功率谱一、能量谱二、功率谱第四章傅里叶变

2、换和系统的频域分析第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.7周期信号的傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换二、一般周期函数的傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换4.8LTI系统的频域分析一、频率响应二、无失真传输三、理想低通滤波器的响应4.9取样定理一、信号的取样二、时域取样定理三、频域取样定理点击目录，进入相关章节4.10序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)4.11离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换(DFT)二、离散傅里叶变换的性质第四章傅里叶变换和系统的频域分析第四章傅

3、里叶变换和系统的频域分析法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。

4、）其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。傅里叶简介4.1信号分解为正交函数4.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0。即4.1信号分解为

5、正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集。如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间：在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1信号分解为正交函数4.1信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集1.定义：定义在(t1

6、，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。4.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在任何函数(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}和虚指数

7、函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)4.1信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn问题：如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为：4.1信号分解为正交函数为使上式最小（

8、系数Cj变化时），有展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为：即：所以系数4.1信号分解为正交函数代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多