傅里叶变换和系统的频域分析

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1、Chapter4第四章傅里叶变换与系统的频域分析本章要点信号表示为正交函数集周期信号的频谱傅立叶变换的性质周期信号的傅里叶变换FFFFFFFF连续时间系统的频域分析非周期信号的傅里叶变换取样定理周期信号的傅里叶级数能量谱与功率谱F引言时域分析：1）以冲激函数为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。3）yzs(t)=h(t)*f(t)。频域分析：1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。信号表示为正交函数分量的原理与矢量

2、分解为正交矢量的概念类似。一、矢量的分量和矢量的分解4.1信号分解为正交函数平面矢量分解图和是一组模为1的正交矢量空间中的矢量分解图是一组模为1的正交矢量。矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交：例：矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)是否为正交矢量集？例：三维空间的矢量A=(2，5，8)，表示为一个三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合。A=2vx+5vy+8vz在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。其内积

3、为04.1信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集1.定义：定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。(i=1，2，…，n)这有两层意思：1.

4、如果φ(t)在区间内与i(t)正交，则φ(t)必属于这个正交集。2.若φ(t)与i(t)正交，但i(t)中不包含φ(t)，则此集不完备。例:三角函数集例:复指数函数集三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj。使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为为使上式最小展开上式中的被积函数，并

5、求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。帕斯瓦尔(Parseval)公式，表明：在区间(t1,t2)上f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。一、周期信号f(t)表示为付里叶级数由数学分析知，当周期信号f(t)满足狄氏条件时，可展开为三角付里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：（1）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内

6、，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当f(t)满足狄氏条件时，才存在。4.2傅里叶级数设f(t)是周期为T,角频率1=2/T的函数an是n的偶函数，bn是n的奇函数。在均方误差最小的条件下将上式同频率项合并，可写为周期信号可分解为直流和许多余弦分量。a0/2为直流分量；A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，频率与原周期信号相同；A2cos(21t+2)称为二次谐波，频率是基波的2倍；Ancos(n1t+n)称为n次谐波。An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，

7、bn=–Ansinn，n=1,2,…二、周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FF解:解:解:三、傅里叶级数的指数形式由于cosx=(ejx+e–jx)/2上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n=–n，则令复数傅里叶系数任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。4.3周期信号的频谱一、信号频谱的概念周期信号的频谱：周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。单边谱：双边谱：

8、Fn

9、~ω和n~ω的关系。若Fn为实数，可直接画Fn。频谱图：信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重。周期信号f(t)可用付里叶级数来

10、表示:或例：周期信号f(t)=试求基波周期T，基波角频率Ω，画出单边频谱图。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期