高等应用数学基础 教学课件 作者 王英杰 王新芳 电子教案(15).doc

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1、教案二十二教学内容6.4.4定积分在物理中的应用1．平均值在实际问题中，常常需要计算某一组数的平均值。例如，游标卡尺测量小球的直径，共测次，测得的数值为，我们取算术平均值来描述小球直径的大小。有时，不仅要求出个数值的平均值，也常常需要求出某个函数在一区间内连续变化时的平均值，如平均速度，平均压强，平均功率等。怎样求连续函数在区间上的平均值呢？我们把区间等分，分点是，每一个分点上的函数值是，分点间的距离是，我们可以取的算术平均值作为的近似值，随着分点增密，近似程度也越好。当时，上述平均值也就不断逼近，即。例11.求在[1,2]上的平均值。解:平均值。例12.如果交流电流的变化周期是，则

2、功率在区间上的平均值就称为平均功率。设交流电流，其中表示电流的最大值，计算通过阻值为的纯电阻电路时的平均功率。解:在区间内的任一时刻的功率为，由此，得平均功率为因为交流电的周期为，所以，得2.功的计算从物理学知道，如果有一常力作用在一物体上，使物体沿力的方向移动了距离，则力对物体所作的功为。如果作用在一物体上的力不是常力，或者沿物体运动方向的力是常力，但移动的距离是变动的，则力对物体作的功就要用定积分来计算。例13.设弹簧在10N力的作用下伸长1cm，要使弹簧伸长10cm，问需做多少功？解:如图6-26所示，以弹簧自由端的初始位置为坐标原点，建立坐标系。由物理学知道，弹簧拉伸到点所需

3、的拉力为，由已知条件cm时，10N，得，从而变力。（1）取积分变量为，积分区间为[0，10]。（2）在任一小区间上，变力所作的功近似地看作是以拉伸到处所用的力作为常力所作的功，从而得功元素。（3）所求的功为。例14.已知定滑轮距光滑的玻璃平面的高为，一物体受到通过定滑轮绳子的牵引，其力的大小为常数，沿着玻璃平面从点沿直线移动到点处（图6-27）。设点，及定滑轮所在平面垂直玻璃板。求牵引力对物体所作的功。解:因为物体在作水平移动，所以求牵引力所作的功实际上是求牵引力的水平分力所作的功。牵引力是常力，但水平分力的大小却随物体位置的变化而变化，它是一个变力。如图6-27所示，以定滑轮在玻璃

4、平面上的投影点为坐标原点，直线为轴，正向指向右侧，建立坐标系。此时，点的坐标为，点的坐标为。（1）取积分变量为，积分区间为；（2）任取一小区间，在此小区间上，近似地看作水平分力不变，用在点处的水平分力来代替。从而得功元素。（3）牵引力对物体所作的功为例15.修建一座大桥的桥墩时先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工。已知围囹的直径为20米，水深27米，围囹高出水面3米，求抽尽水所作的功。解：这是一个克服重力做功问题。思路是：将抽水过程看作是从水的表面到围囹底部一层一层的抽出，那末，抽取每一薄层水的力的大小就是这一薄层水的重量。但是每一薄层水的深度不同，所以，抽取每一薄层水至围囹外的位移

5、是不同的。如图6-28所示，建立坐标系。利用定积分微元法计算。（1）取积分变量为，积分区间为[3，30]。（2）任取小区间，与它对应的这一薄层（圆柱）水的重量是牛顿，其中水的密度千克/立方米。因为这一薄层水抽出围囹所作的功近似地看作是克服这一薄层水的重量所作的功，从而得功元素为（3）抽尽水所作的功为（焦耳）3.液体的压力计算由物理学可知，一个水平放置在液体中的薄片，若其面积为，距离液体表面的深度为，则该薄片一侧所受的压力等于以为底，为高的液体柱的重量，即，其中为液体的比重（单位：牛顿/立方米）。但在实际问题中，往往要计算与液面垂直放置的薄片（如水渠的闸门）一侧所受的压力。由于薄片上每

6、个位置距液体表面的深度都不同，因此，不能直接利用上述公式进行计算。下面我们通过例子说明这种薄片所受液体压力的求法。例16.设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，尺寸与坐标系如图6-29(1)所示。当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水压力。解：（1）取积分变量为，积分区间为[0，6]。（2）在图6-29(2)所示的坐标系中，直线的方程为。在区间[0,6]上任取一小区间，与它对应的小薄片的面积近似于宽为，长为的小矩形的面积。这个小矩形上所受的压力近似于把这个小矩形放在平行于液体表面且距液体表面深度为的位置上一侧所受的压力。由于所以，压力元素为（3）闸门所受的水压力为（牛顿）。把上述方法推广到一般

7、情况（图6-30），可得出液体压力计算公式。例17.设一水平放置的水管，其断面是直径为6米的圆，求当水半满时，水管一端的竖立闸门上所受的压力。解：如图6-31所示，建立坐标系，则圆的方程为。取积分变量为，积分区间为[0,3]。此时，由上述公式可得竖立闸门上所受的压力为（牛顿）6.5广义积分在定积分中，我们总假定积分区间是有限的，而被积函数（如果可积的话）一定有界。但在理论上或实际应用中常常需要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为：（1）无限区间上的积分；（