高等应用数学基础 教学课件 作者 王英杰 王新芳 电子教案(17).doc

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1、教案二十八教学内容8.1总体样本统计量1.总体和样本把所研究对象的全体称为总体。总体中的每一个单位称为个体。从总体中任意抽取的个体称为样品，若干样品的集合称为样本。一个样本中所含样品的个数称为样本容量，用表示。从总体中任意抽取一个样品，具有随机性，事先并不能确定样品的值，因而样品也是随机变量，抽出的样品经检测所得到的数值就称样品值或样品观察值。显然，不同次的抽取会得到不同的样品观察值。样本由样品构成，容量为的样本就是个随机变量，记为，样本观察值记为。从总体中抽取样本，目的是根据样本包含的信息去研究总体，因此希望样本具有代表

2、性，即样品与总体具有相同的分布，同时，为方便研究，还希望样本中各次抽取的样品具有独立性，即彼此互不影响。因而样本是一组独立同分布的随机变量，将同时满足这两个条件的样本称为简单样本，这样的抽样称为简单抽样。2.统计量通过从总体中抽取样本（得到样本值），还不能够直接去说明总体，只有对样本（值）进行适当的加工整理，将每个样品（值）包含的信息“集中”起来，才能对总体的某方面特性作出某种推断。因此，必须预先根据问题的需要适当构造关于样本的函数，这种函数在数理统计中称为统计量。定义8.1设（）是来自总体的一个样本，（）是关于的元函数，

3、且不包含任何未知参数，则称函数（）为样本（）的一个统计量。当样本取得一个观察值，代入统计量（）所得到的值，称为统计量的一个观察值。常用的统计量有：231样本均值=样本方差样本标准差=将样本观察值代入，即得到样本均值、样本方差和样本标准差的观察值。下面不加证明地介绍几个常用的与正态分布总体有关的统计量及其概率分布。（1）样本均值假设为相互独立且又都服从正态分布N（）的个随机变量，则有1）样本均值2）统计量（2）分布设为相互独立且都服从标准正态分布的个随机变量，则称为自由度（即和式中独立变量的个数）是的变量，它所服从的分布称为

4、分布，记为。当给定了和自由度后，称满足下式的数是自由度为的分布的上侧临界值（点），记为。对于不同的和，人们已经给出了分布临界值表（附表4），自由度为的上侧临界值可由该表查到。如时，；时，，但该表只列到，当很大时，近似服从正态分布231，由此可近似地求得自由度大于40的分布的上侧临界值。下面给出一个与分布有关的重要定理：定理8.1设（）是来自总体的一个样本，则1）与相互独立，2）=。可见，由样本方差可得到一个自由度为的分布的统计量。（3）分布假设且相互独立，则称是自由度为的变量，它所服从的分布称为分布，简记为。分布密度函数曲

5、线关于轴对称，形状类似于正态分布曲线。可以证明，当时（标准正态分布密度函数），即很大时，分布可近似地看作标准正态分布，但当较小时两者差异很大。对于给定的和自由度，称满足下式的数为自由度为的分布上侧临界值，记作.由于对称性，。对于不同的，人们已给出了t分布临界值表（附表3），上侧临界值可由该表查到。如时，。该表只列到35为止，当>35时，可近似地由标准正态分布表查得。下面给出一个与分布有关的重要定理：定理8.2设（）是来自总体的一个样本，则231最后，给出标准正态分布的上侧临界值概念。设是密度函数，对于给定的，称满足下式的数

6、为标准正态分布的上侧临界值，记为。分布、分布、标准正态分布的上侧临界值（附表2）是几个很重要的概念，在统计推断中有重要应用。8.2随机变量的参数估计8.2.1参数的点估计设为总体的待估参数，（）为总体的一个样本，构造一个统计量作为的估计，就称为的一个估计量。这类问题称为参数的点估计问题。1．均值的点估计由于总体的均值表示总体取值的平均状况，因此，一般把样本平均值作为总体均值的估计量，记为。2．方差的点估计由于总体的方差表示总体取值对总体均值的偏离程度，因此，一般用样本方差作为总体方差的估计量，记为。例1.设某种电子元件的寿

7、命其中未知。现随机抽取5个产品，测得寿命（单位：小时）分别为1500、1450、1453、1502、1650，试估计这批零件寿命的均值与方差。231解：这批零件的寿命为，则平均寿命与方差分别为所以，这批零件的平均寿命的估计值为方差的估计值。8.2.2随机变量参数的区间估计对参数作点估计，只能得到参数真值的近似值，近似值与真值接近到什么程度，以及在多大可能性上接近到这种程度，就需要确定真值所在范围及其概率，这就是参数的区间估计。（1）置信区间与置信度定义8.2设是来自总体的一个样本,,是由样本确定的两个统计量，,是任意实数。

8、如果对于总体中的未知参数，有则称随机区间为参数置信度为的置信区间，称为置信区间的置信度（或置信水平），分别称和为置信下限和置信上限。1．总体均值的区间估计（1）总体已知，求的置信区间设为总体的一个样本，其中为已知）。由抽样分布理论，我们知道这样，对于给定的置信度由标准正态分布有231即于是，得到的置信度