高等应用数学基础 教学课件 作者 王英杰 王新芳 电子教案(10).doc

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1、教案十四教学内容4.4导数在经济分析中的应用在经济研究中常用到两个重要概念：边际函数和弹性函数，这两个概念都与导数有密切联系。下面介绍导数在经济决策中的两个重要应用——边际分析和弹性分析，然后应用求最值的方法解决实际问题中的最优化问题。4.4.1经济中的边际分析定义4.8在经济学中，把函数的导数称为边际函数。由微分知识可知所以，边际函数的意义是：在点处，当自变量改变一个单位时，因变量近似地改变个单位。在第一章中介绍过一些常用的经济函数：需求函数：需求量是价格的一元函数，记做，（）。总收益函数：总收益为销售价格与销售数量的乘积，需求函数时，总收益函数为==（）。总成本函数：若用表示产量，表示总成

2、本，则是固定成本，是可变成本。总利润函数：总收益函数与总成本函数之差，记做。以上函数的导数分别称为边际需求函数、边际收益函数、边际成本函数、边际利润函数。例1.某产品生产单位时的总成本是：求（1）生产1000单位时的总成本和平均成本；（2）生产1000单位时的边际成本。解：（1）生产1000单位时的总成本和平均成本分别是：（2）生产1000单位时的边际成本为：例2.某厂生产轿车的固定成本是1000万元，生产辆轿车的可变成本是（）万元，若每辆轿车的售价为16万元，问该厂能否决策将月产量从1000辆增加到1001辆？解：根据边际函数的意义知：是否可以增加月产量，关键在于能否增加利润，也就是要考虑边

3、际收入和边际成本的关系。由已知，该厂生产辆轿车的的总成本、总收益分别是该厂生产辆轿车的的边际成本和边际收益分别是当产量为1000辆时可见即，在生产了1000辆轿车后，若再多生产一辆轿车，成本将增加15万元，但每辆轿车售价为16万元，可以增加利润。因此，可以将月产量从1000辆增加到1001辆。例3.设生产某产品的总成本和总收益分别是，试求（1）边际成本、边际收益和边际利润；（1）当产量为600、700个单位时的边际利润，并说明其经济意义。解：（1）边际成本：边际收益：边际利润：；（2）当产量为600、700个单位时的边际利润分别为上面的结果说明：当产量为600单位时，再多生产一个单位产品，利润

4、将增加0.3个单位，当产量为700单位时，再多生产一个单位产品，利润将减少0.3个单位。4.4.2经济中的弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度。或者说，一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。描述一个经济变量的变化引起另一个经济变量变化的程度，就是所谓的“弹性分析”。设市场上某商品的需求量是价格的函数，即当价格有一个增量时，需求量响应地有增量。定义4.9若需求函数可导，当时，极限称为价格在时需求量对价格的弹性，简称需求弹性。记做即=需求弹性表示某商品的需求量对价格的灵敏程度。由于需求量是价格的减函数，故需求弹性。这

5、表明，当商品的价格上涨（或下跌）时，其需求量将下跌（或上涨）约%。在经济学中，比较商品需求弹性大小时，采用弹性的绝对值。当说一种商品的需求价格弹性大时，是指其绝对值大。例4.设某商品的需求函数为，求=1，6，8时的需求弹性。解：因为，所以=；；。以上结果说明，当商品的价格分别在=1，6，8时，价格每增加（或减少），需求量将分别下降（或增加）0.091%、1%、2%。需求弹性刻画了商品价格变化时需求量变化的强弱。当=-1（或=1）时，称为单位弹性。此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当<-1（或>1）时，称为高弹性。此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量

6、的影响较大；当-1<<0（或<1）时，称为低弹性。此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响不大；设商品的销售收益，当价格有微小增量时，有即由此可知，当（或=1）时，总收益近似为0，即提价或降价对总收益没有明显影响；当<-1（或>1）时，降价（）可使总收益增加（），薄利多销多收益。提价（）可使总收益减少（）；当-1<<0（或<1）时，降价（）可使总收益减少（），提价（）可使总收益增加（）。例5.已知某商品的需求函数是（1）求需求弹性；（2）讨论需求弹性的变化。解：（1）需求弹性=；（2）当时，=当<-1时，=由需求函数知，，即时，<-1（高弹性）。这时若采用提价的

7、手段反而使收益减少；反之，采用降价的手段会使收益增加。当-1<<0时，=，即时，-1<<0（低弹性）。这时若采用提价的手段会使收益增加。4.4.3经济中的最值分析在生产、经营、管理等经济活动中，总会遇到求最大值或最小值问题，这就构成了经济优化分析领域，其中利用导数解决优化问题是一种常用的方法。1．最大利润与最小成本例6.已知某厂生产件产品的成本为问（1）若使平均成本最小，产量应为多少？（2）若产品